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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 8

a) Determinar a transformação linear T :   R 3 → R 2 tal que T 1 ,   - 1 ,   0 = ( 1 ,   1 ) , T 0 ,   1 ,   1 = ( 2 ,   2 ) e T 0 ,   0 ,   1 = ( 3 ,   3 ) .

b) Achar T ( 1 ,   0 ,   0 ) e T ( 0 ,   1 ,   0 ) .

Passo 1

A questão fornece uma transformação linear tal que

T 1 ,   - 1 ,   0 = ( 1 ,   1 )

T 0 ,   1 ,   1 = 2 ,   2

T 0 ,   0 ,   1 = ( 3 ,   3 )

Queremos achar uma expressão para T ( x , y , z ) . Para isso, você tem que escrever:

T x ,   y ,   z = x   T 1 ,   0 ,   0 + y   T 0 ,   1 ,   0 + z T 0 ,   0 ,   1

Nosso objetivo é encontrar T ( 1 ,   0 ,   0 ) , T ( 0 ,   1 ,   0 ) e T ( 0 ,   0 ,   1 ) . Note que um deles já foi dado:

T 0 ,   0 ,   1 = ( 3 ,   3 )

Passo 2

Usando as propriedades de linearidade:

T 0 ,   1 ,   1 = T 0 ,   1 ,   0 + T 0 ,   0 ,   1 = ( 2 ,   2 )

Assim,

T 0 ,   1 ,   0 = 2 ,   2 - T ( 0 ,   0 ,   1 )

Como T 0 ,   0 ,   1 = ( 3 ,   3 ) :

T 0 ,   1 ,   0 = 2 ,   2 - 3 ,   3 = ( - 1 ,   - 1 )

Passo 3

Da mesma forma,

T 1 ,   - 1 ,   0 = T 1 ,   0 ,   0 - T 0 ,   1 ,   0 = ( 1 ,   1 )

Portanto,

T 1 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   1 ) + T 0 ,   1 ,   0 = 1 ,   1 + - 1 ,   - 1 = ( 0 ,   0 )

Note que já resolvemos o item (b):

T 0 ,   1 ,   0 = - 1 ,   - 1             e             T 1 ,   0 ,   0 = ( 0 ,   0 )

Passo 4

Agora podemos resolver o item (a):

T x ,   y ,   z = x T 1 ,   0 ,   0 + y   T 0 ,   1 ,   0 + z   T 0 ,   0 ,   1

Substituindo T ( 1 ,   0 ,   0 ) , T ( 0 ,   1 ,   0 ) e T ( 0 ,   0 ,   1 ) , obtemos

T x , y , z = x   0 ,   0 + y   - 1 ,   - 1 + z   ( 3 ,   3 )

Logo,

T x ,   y ,   z = ( - y + 3 z ,   - y + 3 z )

Resposta

T x ,   y ,   z = ( - y + 3 z ,   - y + 3 z )

T 0 ,   1 ,   0 = - 1 ,   - 1             e             T 1 ,   0 ,   0 = ( 0 ,   0 )

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