a) Determinar a transformação linear T :   R 2 → R 3 tal que T - 1 ,   1 = ( 3 ,   2 ,   1 ) e T 0 ,   1 = ( 1 ,   1 ,   0 ) .

b) Encontrar v ∈ R 2 tal que T v = ( - 2 ,   1 ,   - 3 ) .

Passo 1

A questão fornece uma transformação linear tal que

T - 1 ,   1 = ( 3 ,   2 ,   1 )

T 0 ,   1 = ( 1 ,   1 ,   0 )

No item (a) devemos achar uma expressão para T ( x , y ) . Para isso, você tem que escrever

x , y = x   1 ,   0 + y   ( 0 ,   1 )

Assim, usando as propriedades de linearidade:

T x ,   y = x   T 1 ,   0 + y   T ( 0 ,   1 )

Note que já temos T 0 ,   1 = ( 1 ,   1 ,   0 ) . Resta encontrar T ( 1 ,   0 ) !

Passo 2

Para encontrar T ( 1 ,   0 ) , vamos olhar para T ( - 1 ,   1 ) :

T - 1 ,   1 = - T 1 ,   0 + T 0 ,   1 = ( 3 ,   2 ,   1 )

Assim,

T 1 ,   0 = T 0 ,   1 - ( 3 ,   2 ,   1 )

Usando T 0 ,   1 = ( 1 ,   1 ,   0 ) , temos que

T 1 ,   0 = 1 ,   1 ,   0 - 3 ,   2 ,   1 = ( - 2 ,   - 1 ,   - 1 )

Passo 3

Assim,

T x ,   y = x   T 1 ,   0 + y   T 0 ,   1 = x   - 2 ,   - 1 ,   - 1 + y   ( 1 ,   1 ,   0 )

Portanto,

T x , y = ( - 2 x + y ,   - x + y ,   - x )

Passo 4

Já no item (b), temos que achar   v ∈ R 2 tal que T v = ( - 2 ,   1 ,   - 3 ) . Assim, usando a resposta do item (a), vamos ter

- 2 x + y = - 2 - x + y = 1 - x = - 3

Da terceira equação, tiramos x = 3 . Substituindo na segunda equação:

- 3 + y = 1 ⇒ y = 4

Note que x = 3 , y = 4 também satisfaz a primeira equação, então essa é a solução do sistema!

Portanto,

v = ( 3 ,   4 )

Resposta

T x , y = ( - 2 x + y ,   - x + y ,   - x )

v = ( 3 ,   4 )

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