Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 7
a) Determinar a transformação linear tal que e .
b) Encontrar tal que .
Passo 1
A questão fornece uma transformação linear tal que
No item (a) devemos achar uma expressão para . Para isso, você tem que escrever
Assim, usando as propriedades de linearidade:
Note que já temos . Resta encontrar !
Passo 2
Para encontrar , vamos olhar para :
Assim,
Usando , temos que
Passo 3
Assim,
Portanto,
Passo 4
Já no item (b), temos que achar tal que . Assim, usando a resposta do item (a), vamos ter
Da terceira equação, tiramos . Substituindo na segunda equação:
Note que , também satisfaz a primeira equação, então essa é a solução do sistema!
Portanto,
Resposta
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Determinar um operador linear do R 4 cujo núcleo é gerado por 1,1 , 0,0 e 0,0 , 1,0 .
Seja W = U ⊕ V . Consideremos os operadores lineares de W (projeções sobre U e V , respectivamente) dados por P 1 u + v = u e P 2 u + v = v , ∀ u + v ∈ W , com u ∈ U e v ∈ V . Definido por H : W → W p
Considere uma transformação linear T : U → V . Provar que, se o conjunto T u 1 , … , T u r é LI em V , então u 1 , … , u r é LI em U . Provar que, se T é injetora e u 1 , … , u r é LI em U , então T u
Consideremos o espaço vetorial R ∞ = a 1 , a 2 , … | a i ∈ R .Mostrar que a transformação linear T : R ∞ → R ∞ dada por T a 1 , a 2 , … = 0 , a 1 , a 2 , … é injetora mas não é sobrejetora.Mostrar que
Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão donúcleo e da imagem:(a) F :R 3 → R dada por F x ,y ,z = x + y - z .(b) F :R 2 → R 2 dada por Fx ,y = 2 x ,x + y .(c)