Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   R 2 → R 4 ,     T x , y = ( y ,   x ,   y ,   x )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y = ( y ,   x ,   y ,   x ) . Vamos testar a primeira propriedade com u = ( a , b ) e v = ( c ,   d ) :

T u + v = T a + c ,   b + d = ( b + d ,   a + c ,   b + d ,   a + c )

Separando em duas partes:

T u + v = b ,   a ,   b , a + ( d ,   c ,   d ,   c )

Note que os termos da direita são exatamente T ( u ) e T ( v ) :

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda propriedade:

T λ u = T λ a , λ b = ( λ b ,   λ a ,   λ b ,   λ a )

Tirando o λ para fora:

T λ u = λ   b ,   a ,   b ,   a = λ T ( u )

Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que T é linear!

Resposta

Sim

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