Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 5i
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.
Passo 1
A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:
Neste caso, temos que . Vamos testar a primeira propriedade com e :
Separando em duas partes:
Note que os termos da direita são exatamente e :
A primeira propriedade é satisfeita!!!
Passo 2
Agora vamos olhar para a segunda propriedade:
Tirando o para fora:
Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que é linear!
Resposta
Sim
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Seja F :R 3 → R 3 definida por F ( 1 ,0 ,0 ) = ( 1 ,1 ,0 ) e F ( 0,0 ,1 )=( 0 ,0 ,2 ) e F 0 ,1,0 = ( 1 ,1 ,2 ). Determinar uma base de cada um dos seguintes sub-espaços vetoriais: K e r ( F ), I m ( F
Seja e 1 , … , e n a base canônica do R n . Seja F : R n → R n o operador linear dado por F e 1 = e 2 ,F e 2 = e 3 , … , F e n = e 1 . Determinar F x 1 , … , x n e verificar se F é um automorfismo. Se
Consideremos uma transformação linear F : U → V . Se dim Udim V , prove que existe um vetor não nulo u 0 ∈ U tal que F u 0 = 0 (vetor nulo de V ). (Ou seja, F não é injetora.)
Sejam u , v ∈ R 2 vetores tais que u , v é uma base do R 2 . Sendo F : R 2 → R n uma transformação linear, mostrar que uma das seguintes alternativas se verifica: F u , F v é LI; dim I m F = 1 I m F
Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W = U ⊕ V . Consideremos o espaço vetorial U × V cuja adição é u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2 e cuja multiplicação por escalares é dada por