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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 15

São apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:

a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?

b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?

T :   R 2 → R 3 ,     T x , y = ( x + y ,   x ,   2 y )

Passo 1

O problema fornece para nós uma transformação linear. Temos que determinar o núcleo e a imagem dessa transformação.

Para achar o núcleo, temos que lembrar que x , y ∈ N ( T ) se T x , y = ( 0 ,   0 ,   0 ) :

x + y ,   x ,   2 y = ( 0 ,   0 ,   0 )

Assim,

x + y = 0 x = 0 2 y = 0

A única solução desse sistema é x = y = 0 . Portanto, apenas o vetor nulo está contido no núcleo:

N T = { 0 ,   0 }

Assim, temos que T é injetora (pois o núcleo só contém o vetor nulo) e dim ⁡ N ( T ) = 0 .

Passo 2

Agora vamos estudar a imagem de T :

T x , y = x + y ,   x ,   2 y = x   1 ,   1 ,   0 + y   ( 1 ,   0 ,   2 )

Assim, a imagem é gerada pelo conjunto

A = { 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   2 }

Como esse conjunto é LI e gerador, trata-se de uma base para I m ( T ) . Assim,

I m T = t   1 ,   1 ,   0 + r 1 ,   0 ,   2     t ,   r ∈ R }

Note que dim ⁡ I m T = 2 ≠ 3 = dim ⁡ R 3 , de modo que T não é sobrejetora.

Resposta

N T = { ( 0 ,   0 ) }

dim ⁡ N ( T ) = 0

I m T = t   1 ,   1 ,   0 + r 1 ,   0 ,   2     t ,   r ∈ R }

B = { 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   2 }

dim ⁡ I m ( T ) = 2

É injetora, mas não é sobrejetora.

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Determinar um operador linear do R 3 cujo núcleo tenha dimensão 1 .
Mostrar que cada um dos operadores lineares do R 3 a seguir é inversível e determinar o isomorfismo inverso em cada caso:(a )F ( x ,y ,z )=( x-3 y-2 z ,y-4 z ,z ) ; (b) F ( x ,y ,z )=( x ,x -y ,2 x+y-
Mostrar que cada um dos operadores lineares do R 3 a seguir é inversível e determinar o isomorfismo inverso em cada caso:(a )F ( x ,y ,z )=( x-3 y-2 z ,y-4 z ,z ) ; (b) F ( x ,y ,z )=( x ,x -y . ,2 x+
Considere o operador linear F do R 3 definido por F ( 1 ,0 ,0 )=( 1 ,1 ,1 ) , F ( 0 ,1 ,0 )=( 1 ,0 ,1 ) eF 0 ,1 ,2=( 0 ,0 ,4 ) . F é invertíıvel? Se for, determine o isomorfismo inverso.
Provar que o R 2 é isomorfo a qualquer sub-espaço de dimensão 2 do R 3 .