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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 36

Prove a identidade de Lagrange ‖V x W‖^2 = ‖V‖^2 ‖W‖^2 - (V . W)^2

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bem? 😊

Para provar essa identidade vamos definir os nossos vetores V e W :

V = (x , y , z)

W = ( a , b , c )

Passo 2

Sabemos pela definição de produto vetorial que:

V x W = d e t ([[x,y,z],[a,b,c],[vec i,vec j,vec k]]) = ( y c - z b , z a - x c , x b - y a )

Passo 3

Aplicando a norma e elevando a expressão ao quadrado, temos que:

‖V x W‖^2 = (y c - z b)^2 + (z a - x c)^2 + (x b - y a)^2

Desenvolvendo os quadrados dessa expressão:

‖V x W‖^2 = y^2 c^2 - 2 y c z b + z^2 b^2 + z^2 a^2 - 2 z a x c + x^2 c^2 + x^2 b^2 - 2 x b y a + y^2 a^2

Passo 4

Analisando a outra parte da igualdade, temos que:

‖V‖^2 ‖W‖^2 - (V . W)^2 = (x^2 + y^2 + z^2) (a^2 + b^2 + c^2) - (x a + y b + z c) (x a + y b + z c)

Desenvolvendo a expressão:

‖V‖^2 ‖W‖^2 - (V . W)^2 = y^2 c^2 - 2 y c z b + z^2 b^2 + z^2 a^2 - 2 z a x c + x^2 c^2 + x^2 b^2 - 2 x b y a + y^2 a^2

Portanto, concluímos que:

‖V x W‖^2 = ‖V‖^2 ‖W‖^2 - (V . W)^2

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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