Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   M ( 2 ,   2 ) → R 2 ,     T a b c d = ( a - c ,   b + c )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

O primeiro passo é testar a primeira propriedade. Vamos tomar

u = a b c d             e             v = e f g h

T u + v = T a + e b + f c + g d + h = ( a + e - c - g ,   b + f + c + g )

Separando em duas partes:

T u + v = a - c ,   b + c + ( e - g ,   f + g )

Note que os termos da direita são exatamente T ( u ) e T ( v ) :

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda propriedade:

T λ u = T λ a λ b λ c λ d = ( λ a - λ c ,   λ b + λ c )

Tirando o λ para fora:

T λ u = λ   ( a - c ,   b + c ) = λ T ( u )

Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que T é linear!

Resposta

Sim

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