Enunciado

Verifique os Axiomas 1 ,   2 ,   3 ,   6 ,   8 ,   9 e 10 com o espaço vetorial dado no Exemplo 8 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para esta questão, temos que verificar os seguintes axiomas:

  • Se u e v são objetos em V , então u + v é um objeto em V .
  • u + v = v + u .
  • u + v + w = u + v + w
  • Se a for qualquer escalar e u um objeto em V , então k u é um objeto em V .
  • a + b u = a u + b u .
  • a b u = a b u .
  • 1 u = u

Lembrando que chamaremos de V o conjunto do Exemplo 8 com suas devidas operações. Portanto:

Considere que V seja o conjunto de números reais positivos e que as operações de adição e multiplicação sejam definidas por:

u + v = u v

k u = u k

Passo 2

Então, para o axioma 1 , temos que:

u + v = u v

Que é da forma de V . Assim, podemos dizer que u + v está em V , portanto o axioma 1 é satisfeito.

Considere que:

v + u = v u

Portanto, podemos dizer que:

u + v = v + u

Estando assim satisfeito o axioma 2 .

Passo 3

O axioma 3 diz que u + ( v + w ) tem que ser igual a u + v + w . Temos que:

u + v + w = u + v w

u + v + w = u v w

Agora vamos avaliar u + v + w . Temos que:

u + v + w = u v + w

u + v + w = u v w

Ou seja:

u + v + w = u + v + w

Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.

Passo 4

Seja k um escalar, temos que:

k u = u k

Portanto o axioma 6 está satisfeito.

Vamos encontrar k + m u :

k + m u = u k + m

k + m u = u k u m

Temos também que:

k u + m u = u k + u m

k u + m u = u k u m

Ou seja:

k + m u = k u + m u

Satisfazendo assim o axioma 8 .

Passo 5

Vamos encontrar agora k m u

k m u = k ( u m )

k m u = ( u m k )

Ou seja:

k m u = k m u

Satisfazendo assim o axioma 9 .

Para o axioma 10 , temos que:

1 u = u 1

Logo:

1 u = u

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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