Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 16
Verifique os Axiomas e com o espaço vetorial dado no Exemplo .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Para esta questão, temos que verificar os seguintes axiomas:
- Se e são objetos em , então é um objeto em .
- .
- Se for qualquer escalar e um objeto em , então é um objeto em .
- .
- .
Lembrando que chamaremos de o conjunto do Exemplo com suas devidas operações. Portanto:
Considere que seja o conjunto de números reais positivos e que as operações de adição e multiplicação sejam definidas por:
Passo 2
Então, para o axioma , temos que:
Que é da forma de . Assim, podemos dizer que está em , portanto o axioma é satisfeito.
Considere que:
Portanto, podemos dizer que:
Estando assim satisfeito o axioma .
Passo 3
O axioma diz que tem que ser igual a . Temos que:
Agora vamos avaliar . Temos que:
Ou seja:
Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.
Passo 4
Seja um escalar, temos que:
Portanto o axioma está satisfeito.
Vamos encontrar :
Temos também que:
Ou seja:
Satisfazendo assim o axioma .
Passo 5
Vamos encontrar agora
Ou seja:
Satisfazendo assim o axioma .
Para o axioma , temos que:
Logo:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)