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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 13

Verifique os Axiomas 3,7 , 8 e 9 com o espaço vetorial dado no Exemplo 4 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para esta questão, temos que verificar os seguintes axiomas:

  • u + v + w = u + v + w
  • a u + v = a u + a v .
  • a + b u = a u + b u .
  • a b u = a b u .

Lembrando que chamaremos de V o conjunto do Exemplo 4 com suas devidas operações. Portanto:

Considere que V seja o conjunto de matrizes 2 × 2 com entradas reais e que suas operações são as operações usuais de adição e multiplicação de matrizes.

Chamaremos:

u = u 11 u 21       u 12 u 22

v = v 11 v 21       v 12 v 22

w = w 11 w 21       w 12 w 22

Passo 2

O axioma 3 diz que u + ( v + w ) tem que ser igual a u + v + w . Temos que:

u + v + w = u 11 u 21       u 12 u 22 + v 11 v 21       v 12 v 22 + w 11 w 21       w 12 w 22

u + v + w = u 11 u 21       u 12 u 22 + v 11 + w 11 v 21 + w 21       v 12 + w 12 v 22 + w 22

Portanto:

u + v + w = u 11 + v 11 + w 11 u 21 + v 21 + w 21       u 12 + v 12 + w 12 u 22 + v 22 + w 22

Agora vamos avaliar u + v + w . Temos que:

u + v + w = u 11 u 21       u 12 u 22 + v 11 v 21       v 12 v 22 + w 11 w 21       w 12 w 22

u + v + w = u 11 + v 11 u 21 + v 21       u 12 + v 12 u 22 + v 22 + w 11 w 21       w 12 w 22

Portanto:

u + v + w = u 11 + v 11 + w 11 u 21 + v 21 + w 21       u 12 + v 12 + w 12 u 22 + v 22 + w 22

Ou seja:

u + v + w = u + v + w

Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.

Passo 3

Para o axioma 7 , temos que:

Já sabemos que u + v = u 11 + v 11 u 21 + v 21       u 12 + v 12 u 22 + v 22 , portanto:

k u + v = k u 11 + v 11 u 21 + v 21       u 12 + v 12 u 22 + v 22

k u + v = k u 11 + k v 11 k u 21 + k v 21       k u 12 + k v 12 k u 22 + k v 22

Sabemos também que:

k u = k u 11 k u 21       k u 12 k u 22

Analogamente, temos que:

k v = k v 11 k v 21       k v 12 k v 22

Portanto:

k u + k v = k u 11 k u 21       k u 12 k u 22 + k v 11 k v 21       k v 12 k v 22

k u + k v = k u 11 + k v 11 k u 21 + k v 21       k u 12 + k v 12 k u 22 + k v 22

Ficando assim provado que:

k u + v = k u + k v

Respeitando assim o axioma 7 .

Passo 4

Vamos encontrar k + m u :

k + m u = k + m u 11 u 21       u 12 u 22

k + m u = k + m u 11 k + m u 21       k + m u 12 k + m u 22

Temos também que:

k u + m u = k u 11 u 21       u 12 u 22 + m u 11 u 21       u 12 u 22

k u + m u = k u 11 k u 21       k u 12 k u 22 + m u 11 m u 21       m u 12 m u 22

k u + m u = k + m u 11 k + m u 21       k + m u 12 k + m u 22

Ou seja:

k + m u = k u + m u

Satisfazendo assim o axioma 8 .

Passo 5

Vamos encontrar agora k m u

k m u = k m u 11 m u 21       m u 12 m u 22

k m u = k m u 11 k m u 21       k m u 12 k m u 22

k m u = k m u 11 u 21       u 12 u 22

Ou seja:

k m u = k m u

Satisfazendo assim o axioma 9 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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