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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 34

Prove que:

a) (vec v - vec u) ^^ (vec w - vec u) = vec u ^^ vec v + vec v ^^ vec w + vec w ^^ vec u .

b) (vec u - vec t) ^^ (vec v - vec w) + (vec v - vec t) ^^ (vec w - vec u) + ( vec w - vec t ) ^^ (vec u - vec v) = 2 (vec u ^^ vec v + vec v ^^ vec w + vec w ^^ vec u)

Passo 1

Para provar o item (a), o primeiro passo é fazer a distributiva:

(vec v - vec u) ^^ (vec w - vec u) = vec v ^^ vec w - vec v ^^ vec u - vec u ^^ vec w + vec u ^^ vec u

Como vec u ^^ vec u = vec 0 e

- vec v ^^ vec u = vec u ^^ vec v

- vec u ^^ vec w = vec w ^^ vec u

Temos

(vec v - vec u) ^^ (vec w - vec u) = vec u ^^ vec v + vec v ^^ vec w + vec w ^^ vec u

Passo 2

Para o item (b), vamos fazer cada produto vetorial separadamente:

(vec u - vec t) ^^ (vec v - vec w) = vec u ^^ vec v - vec u ^^ vec w - vec t ^^ vec v + vec t ^^ vec w

(vec v - vec t) ^^ (vec w - vec u) = vec v ^^ vec w - vec v ^^ vec u - vec t ^^ vec w + vec t ^^ vec u

(vec w - vec t) ^^ (vec u - vec v) = vec w ^^ vec u - vec w ^^ vec v - vec t ^^ vec u + vec t ^^ vec v

Usando a propriedade vec a ^^ vec b = - vec b ^^ vec a , temos que

(vec u - vec t) ^^ (vec v - vec w) = vec u ^^ vec v + vec w ^^ vec u - vec t ^^ vec v + vec t ^^ vec w

(vec v - vec t) ^^ (vec w - vec u) = vec v ^^ vec w + vec u ^^ vec v - vec t ^^ vec w + vec t ^^ vec u

(vec w - vec t) ^^ (vec u - vec v) = vec w ^^ vec u + vec v ^^ vec w - vec t ^^ vec u + vec t ^^ vec v

Passo 3

Somando todo mundo:

(vec u - vec t) ^^ (vec v - vec w) + (vec v - vec t) ^^ (vec w - vec u) + (vec w - vec t) ^^ (vec u - vec v) = 2 vec u ^^ vec v + 2 vec w ^^ vec u + 2 vec v ^^ vec w

Portanto,

(vec u - vec t) ^^ (vec v - vec w) + (vec v - vec t) ^^ (vec w - vec u) + ( vec w - vec t ) ^^ (vec u - vec v) = 2 (vec u ^^ vec v + vec v ^^ vec w + vec w ^^ vec u)

Resposta

Demonstração.

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