Prove que: a) (vec v - vec u) ^^ (vec w - vec u) = vec u ^^ vec v + vec v ^^ vec w + vec w ^^ vec u . b) (vec u - vec t) ^^ (vec v - vec w) + (vec v - vec t) ^^ (vec w - vec u) + ( vec w - vec t ) ^^ (vec u - vec v) = 2 (vec u ^^ vec v + vec v ^^ vec w + vec w ^^ vec u) Passo 1Para provar o item (a), o primeiro passo é fazer a distributiva: (vec v - vec u) ^^ (vec w - vec u) = vec v ^^ vec w - vec v ^^ vec u - vec u ^^ vec w + vec u ^^ vec u Como vec u ^^ vec u = vec 0 e - vec v ^^ vec u = vec u ^^ vec v - vec u ^^ vec w = vec w ^^ vec u Temos (vec v - vec u) ^^ (vec w - vec u) = vec u ^^ vec v + vec v ^^ vec w + vec w ^^ vec u Passo 2Para o item (b), vamos fazer cada produto vetorial separadamente: (vec u - vec t) ^^ (vec v - vec w) = vec u ^^ vec v - vec u ^^ vec w - vec t ^^ vec v + vec t ^^ vec w (vec v - vec t) ^^ (vec w - vec u) = vec v ^^ vec w - vec v ^^ vec u - vec t ^^ vec w + vec t ^^ vec u (vec w - vec t) ^^ (vec u - vec v) = vec w ^^ vec u - vec w ^^ vec v - vec t ^^ vec u + vec t ^^ vec v Usando a propriedade vec a ^^ vec b = - vec b ^^ vec a , temos que (vec u - vec t) ^^ (vec v - vec w) = vec u ^^ vec v + vec w ^^ vec u - vec t ^^ vec v + vec t ^^ vec w (vec v - vec t) ^^ (vec w - vec u) = vec v ^^ vec w + vec u ^^ vec v - vec t ^^ vec w + vec t ^^ vec u (vec w - vec t) ^^ (vec u - vec v) = vec w ^^ vec u + vec v ^^ vec w - vec t ^^ vec u + vec t ^^ vec v Passo 3Somando todo mundo: (vec u - vec t) ^^ (vec v - vec w) + (vec v - vec t) ^^ (vec w - vec u) + (vec w - vec t) ^^ (vec u - vec v) = 2 vec u ^^ vec v + 2 vec w ^^ vec u + 2 vec v ^^ vec w Portanto, (vec u - vec t) ^^ (vec v - vec w) + (vec v - vec t) ^^ (vec w - vec u) + ( vec w - vec t ) ^^ (vec u - vec v) = 2 (vec u ^^ vec v + vec v ^^ vec w + vec w ^^ vec u) RespostaDemonstração.MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosSejam U = ( u 1 , u 2 , u 3 ) , V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = ( w 1 , w 2 , w 3 ) . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo U × V × W = U ⋅ W V - U ⋅ V W , Seguindo os seguintes passos:Sejam U = ( u 1 , u 2 , u 3 ) , V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = ( w 1 , w 2 , w 3 ) . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo U × V × W = U ⋅ W V - U ⋅ V W , Seguindo os seguintes passos:Sejam U = ( u 1 , u 2 , u 3 ) , V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = ( w 1 , w 2 , w 3 ) . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo U × V × W = U ⋅ W V - U ⋅ V W , Seguindo os seguintes passos:Mostre que a área do triângulo com vértices ( x i , y i ) , para i = 1,2 , 3 é igual à | d e t ( A ) | / 2 , em que A = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 . (Sugestão: Marque os pontos P 1 = x 1 , y 1 , Sejam U e V vetores no espaço, com V != overset(-)(0) .b) Mostre que (U + V) xx (U - V) = 2 V xx U .Ver TambémVer Livro Paulo Boulos - Geometria Analítica Ver tudo sobre VetoresLista de exercícios de Produto VetorialVer exercício 11.Exercício - 39Ver exercício 11.Exercício - 38