Em relação a uma base ortonormal positiva, são dados os vetores e . Calcule o volume do tetraedro , sabendo que , que é o vetor oposto do versor de e que .

O vetor , de acordo com o enunciado, é a projeção do vetor sobre o vetor , vamos usar a fórmula de projeção para calcular:

Ebaaa, já encontramos um dos vetores :P vamos pros próximos!!

O vetor é o vetor oposto do versor de né? Lembra o que é versor? É um vetor com mesma direção e sentido de mas seu módulo é 1, ou seja, vamos dividir pelo seu módulo pra normalizarmos ele e encontrarmos , seu versor.

O módulo de é

Agora, vamos dividir pelo seu módulo e aí teremos seu versor :

Ebaaa, achamos o versor de !! Mas o exercício fala que é o oposto dele, então, :

E então achamos nossa segunda aresta do tetraedro :D

Agora queremos a aresta , mas não temos informação sobre ela, só sobre .

Mas vamos pensar o seguinte: concorda que ?? Então, como já temos e podemos encontrar , é só soma os dois e teremos hahaha

Vamos encontrar , o enunciado fala que ele é . Primeiro vamos calcular então:

Agora é só fazermos a projeção de no vetor :

Agora chegou o grande momento de encontrarmos hehe

Aeee, agora temos os 3 vetores que precisamos pra calcular o volume do tetraedro :P

Sabemos que o volume do tetraedro é dado por:

Primeiro vamos calcular , e aí depois dividimos por 6:

Agora vamos dividir por 6 e teremos o volume do tetraedro:

Ufaa, terminamos