O triângulo ABC é retângulo em B e está contido no plano . O cateto BC está contido no plano e o ângulo mede 30°. Dado , determine e e calcule o comprimento da altura relativa à hipotenusa.

Agora que temos a reta e sabemos que o triângulo é retângulo em , podemos descobrir suas coordenadas.

Para isto, basta fazermos a projeção ortogonal do ponto na reta . Esta projeção será exatamente o ponto .

Então, seja um ponto da reta , o ponto será dado por:

Em que o vetor é:

Desta forma, temos:

E assim descobrimos as coordenadas do ponto .

Como temos um triângulo retângulo em , sabemos que que o ângulo formado entre as arestas e é 30°, podemos afirmar então que o ângulo entre as arestas e é 60°.

Essa outra forma de analisar a questão irá facilitar e muito na hora de calcularmos ela! Sendo assim, iremos agora analisar a medida angular entre os vetores e

Em relação do vetor , nós temos o ponto e nós sabemos que existe algum valor de da equação da reta que irá satisfazer as coordenadas de . Então, podemos escrever o vetor da seguinte forma:

Já o vetor será:

Calculando a medida angular entre e , temos:

Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

Resolvendo a equação acima, vamos obter e . Cada valor de irá nos dizer um possível ponto que satisfaça a relação de medida angular.

Então, para , obtemos . Já para , obtemos .

Para obtermos a altura relativa à hipotenusa, vamos começar calculando a área do triângulo. Tendo como base o segmento e altura o segmento .

Antes de calcular a área, é importante destacar que tanto faz o ponto que estamos trabalhando, o resultado será exatamente o mesmo. Sendo assim, utilizando o ponto , a área será:

Só que nós poderíamos ter calculado a área utilizando como base a hipotenusa . Se repetirmos este procedimento, temos:

Portanto, a altura que buscamos mede .