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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 8

A diagonal B C de um quadrado A B C D está contida na reta r : X = 1 ,   0 ,   0 + λ   ( 0 ,   1 ,   1 ) . Conhecendo A = ( 1 ,   1 ,   0 ) , determine os outros três vértices.

Passo 1

O problema diz que a diagonal B C de um quadrado está contida na reta r : X = 1 ,   0 ,   0 + λ   ( 0 ,   1 ,   1 ) e forneceu um vértice da outra diagonal A = ( 1 ,   1 ,   0 ) . Queremos achar os demais vértices do quadrado. Para isso, vamos procurar primeiro o ponto de encontro das diagonais, que representa o centro do quadrado!

Para isso, basta encontrar a projeção de A sobre a reta r . Vamos chamar esse ponto de E = ( x ,   y ,   z ) , de modo que   A E → = x - 1 ,   y - 1 ,   z deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta r u → = ( 0 ,   1 ,   1 ) :

x - 1 ,   y - 1 ,   z ⋅ 0 ,   1 ,   1 = 0 ⇒ y - 1 + z = 0 ⇒ z = 1 - y

Portanto,

E = ( x ,   y ,   1 - y )

Além disso, o ponto E deve estar sobre a reta r , já que ele representa o encotro das diagonais. Assim,

x ,   y ,   1 - y = 1 ,   0 ,   0 + λ   0 ,   1 ,   1 ⇒ x ,   y ,   1 - y = 1 ,   λ ,   λ

Daí tiramos que

x = 1 y = λ 1 - y = λ

Portanto,

1 - y = y ⇒ y = 1 2

Logo,

E = 1 , 1 2 , 1 2

Passo 2

Como A e D são vértices opostos do quadrado, o ponto E representa seu ponto médio:

E = A + D 2 ⇒ D = 2 E - A

Portanto,

D = 2 ,   1 ,   1 - 1 ,   1 ,   0 = ( 1 ,   0 ,   1 )

Vamos calcular também a distância entre A e E :

A E → = 0 ,   - 1 2 , 1 2 ⇒ A E → = 1 4 + 1 4 = 1 2

Passo 3

O que falta agora é determinar os vértices B e C , que estão sobre a reta r . Vamos escrever B = ( a ,   b ,   c ) , de modo que

B E → = ( 1 - a , 1 2 - b , 1 2 - c )

Além disso, como B está sobre a reta r :

a ,   b ,   c = ( 1 ,   λ ,   λ )

Assim,

a = 1             e           b = c

Portanto,

B E → = 0 , 1 2 - b , 1 2   - b ⇒ B E → = 1 2 - b 2 + 1 2 - b 2 = 2 b 2 - 2 b + 1 2

Passo 4

Pela natureza do quadrado, devemos ter

A E → = B E → ⇒ 2 b 2 - 2 b + 1 2 = 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

2 b 2 - 2 b + 1 2 = 1 2 ⇒ b 2 - b = 0

Assim,

b b - 1 = 0 ⇒ b = 0           o u         b = 1

Desta forma, obtemos os dois pontos que procuramos. Para b = 0 :

B = ( 1 ,   0 ,   0 )

Já para b = 1 :

C = ( 1 ,   1 ,   1 )

Resposta

1 ,   0 ,   0 ,                 1 ,   1 ,   1               e             ( 1 ,   0 ,   1 )

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