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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 2

Sejam r : X = 1 ,   1 ,   1 + λ ( 1 ,   1 ,   1 ) e s : X = 1 ,   2 ,   0 + λ ( 2 ,   3 ,   m ) . Verifique se existe algum valor de m tal que r e s sejam ortogonais ou perpendiculares.

Passo 1

O problema quer que achemos o valor de m para que as retas sejam ortogonais ou perpendiculares. O primeiro passo é sempre verificar se elas são ortogonais: se elas forem, aí vemos se eles são perpendiculares!

Os vetores diretores das retas são:

u → = 1 ,   1 ,   1               e             v → = ( 2 ,   3 ,   m )

Para que eles sejam ortogonais, esses vetores devem ser ortogonais. Assim,

u → ⋅ v → = 0 ⇒ 1 ,   1 ,   1 ⋅ 2 ,   3 ,   m = 0

Portanto,

2 + 3 + m = 0 ⇒ m = - 5

Assim, para m = - 5 as retas são ortogonais.

Passo 2

No caso em que as retas são ortogonais, temos que

r : X = 1 ,   1 ,   1 + λ   ( 1 ,   1 ,   1 )

s : X = 1 ,   2 ,   0 + λ   ( 2 ,   3 ,   - 5 )

O ponto A = ( 1 ,   1 ,   1 ) pertence a reta r enquanto o ponto B = ( 1 ,   2 ,   0 ) pertence a s . Temos que ver se as retas r e s são concorrentes ou reversas. Para que elas sejam concorrentes, os vetores u → ,   v → ,   A B → devem ser LD:

A B → = 1 ,   2 ,   0 - 1 ,   1 ,   1 = 0 ,   1 ,   - 1 ,             u → = 1 ,   1 ,   1               e             v → = ( 2 ,   3 ,   - 5 )

Para ver se eles são LD ou LI, usamos o determinante:

0 1 - 1 1 1 1 2 3 - 5 = - 1 ⋅ - 5 - 2 - 1 ⋅ 3 - 2 = 7 - 1 = 6 ≠ 0

Portanto, o conjunto é LI e as retas são reversas. Sendo assim, para m = - 5 elas são ortogonais mas não são perpendiculares.

Resposta

m = - 5   ( o r t o g o n a i s )

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