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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 5.Exercício - Ex. 3b

(b) No quadrilátero ABCD (eventualmente reverso, como na Figura 5-2 (b)), M divide (A,B), N divide (C,B), P divide (C,D) e Q divide (A,D), todos na razão r. Prove que o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo.

Passo 1

Bora lá!

Esse é o nosso quadrilátero ACBD (eventualmente reverso), onde M divide (A,B), N divide (C,B), P divide (C,D) e Q divide (A,D), todos na razão r:

Antes de matarmos esse exercício, vamos relembrar o que ele nos pede:

Prove que o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo.

Beleza? Então, partiu!

Passo 2

Do exercício resolvido 5-3, temos que:

A M → = r r + 1 A B →

Vamos provar isso?

De fato, pela definição de razão no qual um ponto divide um segmento:

A M → = r M B → → A M → = r ( M A → + A B → ) → A M → 1 + r = r A B → → A M → = r r + 1 A B →

Passo 3

De acordo com o enunciado, temos:

A M → = r M B → → M B → = 1 1 + r A B → C N → = r N B → → N B → = 1 1 + r C B →                     ( I )

O objetivo é mostrar que M N → é paralelo a A C → e determinar o seu módulo. Com isso, podemos escrever:

M N → = M B → + - 1 B N → = 1 r A M → + - 1 1 r C N → =

= 1 1 + r A B → - 1 1 + r C B → = 1 1 + r A B → + 1 1 + r B C → = 1 1 + r A C →                     ( I I )

Concluímos então que M N → // A C → 😉. Da mesma forma, podemos mostrar que Q P → / / A C → e determinar o seu módulo, certo?

Vamos lá!

Passo 4

Basta saber que

Q D → = 1 r A Q →   e   P D → = 1 r C P →

Logo, temos

Q P → = Q D → - P D → = 1 r A Q → - 1 r C P → = 1 1 + r A D → - 1 1 + r C D → =

= 1 1 + r A D → + D C → = 1 1 + r A C →           ( I I I )

De I I e I I I , temos que os vetores M N → e Q P → são equipolentes. E, pelas propriedades de equipolência de dois vetores, M N P Q é um paralelogramo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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