Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 17b
Em relação aos operadores dados, determinar a matriz de na base e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de na base .
Passo 1
A questão fornece uma transformação linear e pede para encontrarmos as matrizes de transformação nas bases e .
Vamos fazer primeiro na base . Note que ela é a base canônica, o que simplifica muito as coisas:
Esses vetores serão as colunas da matriz:
Passo 2
Para achar , vamos usar a relação entre matrizes semelhantes:
Onde é a matriz de mudança de base de para . Para construir essa matriz, temos que escrever os vetores de na base (que é a canônica):
Portanto,
Para inverter essa matriz, lembre-se do macete para matrizes :
Assim,
Passo 3
Com isso, podemos finalmente fazer
Assim,
Logo,
Portanto,
Resposta
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Considere a seguinte transformação linear do R 3 no R 2 : F x , y , z = x - y - z , 2 z - x . Determine uma base ortonormal de K e r F .
Considere no R 2 o produto interno dado por u , v = x 1 y 1 + 2 x 2 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 Para todo par de vetores u = ( x 1 , x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) de R 2 .Determinar m a fim de que os vetores
Determinar um vetor unitário do R 3 que seja ortogonal a todos os vetores do subespaço w={ ( 1,2 , - 1 ) ,( - 1,0 , 2 ) } .
Seja g 1 , … , g n um subconjunto de um espaço euclidiano V cujos vetores são ortogonais dois a dois. Prove que ∑ i = 1 n g i 2 = ∑ i - 1 n g i 2 (teorema de Pitágoras generalizado).
Em P 2 ( R ) com o produto interno usual,Ortonormalizar a base { 1,1 + t , 2 t 2 } .Achar o complemento ortogonal do subespaço W = [ 5,1 + t ] .