Em relação aos operadores dados, determinar a matriz de T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B .

T :   R 2 → R 2 ,       T x , y = ( 2 x - 3 y , x + y )

A = 1 ,   0 ,   0 ,   1         e         B = { 3 ,   0 ,   - 2 ,   - 1 }

Passo 1

A questão fornece uma transformação linear e pede para encontrarmos as matrizes de transformação nas bases A e B .

Vamos fazer primeiro na base A . Note que ela é a base canônica, o que simplifica muito as coisas:

T 1 ,   0 = ( 2 ,   1 )

T 0 ,   1 = ( - 3 ,   1 )

Esses vetores serão as colunas da matriz:

T A = 2 - 3 1 1

Passo 2

Para achar T B , vamos usar a relação entre matrizes semelhantes:

T B = M - 1   T A   M ,

Onde M = I A B é a matriz de mudança de base de B para A . Para construir essa matriz, temos que escrever os vetores de B na base A (que é a canônica):

3 ,   0 = 3 ,   0 A

- 2 , - 1 = - 2 , - 1 A

Portanto,

M = I A B = 3 - 2 0 - 1

Para inverter essa matriz, lembre-se do macete para matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

M - 1 = 1 - 3 - 1 2 0 3 = 1 3 1 - 2 0 - 3

Passo 3

Com isso, podemos finalmente fazer

T B = M - 1   T A   M = 1 3 1 - 2 0 - 3 ⋅ 2 - 3 1 1 ⋅ 3 - 2 0 - 1

Assim,

T B = 1 3 1 - 2 0 - 3 ⋅ 6 - 1 3 - 3

Logo,

T B = 1 3 0 5 - 9 9

Portanto,

T B = 0 5 3 - 3 3

Resposta

T A = 2 - 3 1 1

T B = 0 5 3 - 3 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados