Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 23
Seja a transformação linear tal que , , e , sendo a base canônica do ;
a) Determinar o núcleo e a imagem de .
b) Determinar bases para o núcleo e para a imagem.
c) Verificar o Teorema da Dimensão.
Passo 1
Nos foi dado uma transformação linear tal que , , e . Como é a base canônica do , podemos escrever
Logo,
A imagem é gerada pelo conjunto . Já para o núcleo, temos que fazer :
Vamos escalonar esse sistema: multiplicando a primeira equação por e somando com a segunda, obtemos
Subtraindo a primeira equação pela terceira:
Assim, temos
Tiramos de cara . Assim, . Substituindo na primeira equação:
Desta forma, um vetor genérico que pertença ao núcleo de é da forma
Passo 2
Como qualquer vetor do núcleo pode ser escrito como combinação linear de , de modo que
Já para a imagem, temos que ela é gerada pelo conjunto . Como a dimensão do espaço de chegada é três e tem quatro vetores, podemos descartar um deles que será combinação linear dos demais. Para isso, vãos considerar apenas os três primeiros:
Portanto, o conjunto é LI. Desta forma, esse conjunto forma uma base para a imagem:
Passo 3
Bom, temos que verificar se o teorema da dimensão é válido. Neste caso, devemos ter
A base do núcleo tem um vetor, de modo que . Já para a imagem, . Como , o teorema da dimensão é verificado!