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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 27

Consideremos a transformação linear T :   R 3 → R 2 definida por T x , y , z = ( 2 x + y - z , x + 2 y ) e as bases A = { 1 ,   0 ,   0 ,   2 ,   - 1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 } do R 3 e B = { - 1 ,   1 ,   0 ,   1 } do R 2 . Determine a matriz T B A .

Passo 1

A questão fornece uma transformação linear e pede para acharmos a matriz de transformação com respeito às bases A e B . Para isso, basta lembrar que as colunas da matriz são dadas pela transformação dos vetores da base A , escritos na base B .

Primeiro vamos determinar as transformações dos vetores de A :

T 1 ,   0 ,   0 = ( 2 ,   1 )

T 2 , - 1 ,   0 = 3 ,   0

T 0 ,   1 ,   1 = ( 0 ,   2 )

Esses vetores estão escritos na base canônica, não na base B !

Passo 2

Agora precisamos escrever os vetores ( 2 ,   1 ) , ( 3 ,   0 ) e ( 0 ,   2 ) com relação a base B . Para isso:

2 ,   1 = a   - 1 ,   1 + b   ( 0 ,   1 )

Assim,

- a = 2 a + b = 1

Portanto, a = - 2 e b = 3 . Desta forma,

T 1 ,   0 ,   0 = 2 ,   1 = - 2   - 1 ,   1 + 3   0 ,   1 = - 2 ,   3 B

Essa será a primeira coluna da matriz! Analogamente,

3 ,   0 = a   - 1 ,   1 + b   ( 0 ,   1 )

Assim,

- a = 3 a + b = 0

Logo, a = - 3 e b = 3 , de modo que

T 2 , - 1 ,   0 = - 3   - 1 ,   1 + 3   0 ,   1 = - 3 ,   3 B

Por fim,

0 ,   2 = a   - 1 ,   1 + b   ( 0 ,   1 )

Achamos que a = 0 e b = 2 , de modo que

T 0 ,   1 ,   1 = 0 ,   2 B

Passo 3

Cada coluna da matriz de transformação pedida é dada pelos vetores encontrados na base B :

T B A = - 2 - 3 0 3 3 2

Resposta

T B A = - 2 - 3 0 3 3 2

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