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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 25

Encontre uma transformação linear T : R^3 -> R^2 tal que N (T) = [ (1 , 0 , - 1) ] .

Passo 1

Queremos achar uma transformação linear de R^3 em R^2 cujo núcleo seja

N (T) = [(1 , 0 , - 1)]

Assim, temos que achar uma transformação T ( x , y , z ) tal que T (1 , 0 , - 1) = ( 0 , 0 ) .

Antes de começar a resolver esse problema é importante dizer que a resposta não é única! Existem infinitas transformações lineares com essa propriedade.

Temos que dim N ( T ) = 1 . Desta forma, vamos precisar de mais dois vetores para completar uma base do R^3 . Vamos escolher ( 0 , 1 , 0 ) e ( 1 , 0 , 0 ) . Assim, o conjunto B = {(1 , 0 , - 1) , (0 , 1 , 0) , (1 , 0 , 0)} é uma base para R^3 .

Queremos escrever um vetor genérico ( x , y , z ) como combinação linear dos vetores de B :

(x , y , z) = a (1 , 0 , - 1) + b (0 , 1 , 0) + c ( 1 , 0 , 0 )

Assim,

{[[a + c = x],[b = y],[- a = z]])

Passo 2

Portanto, temos que

c = x - a = x + z

Logo,

(x , y , z) = - z (1 , 0 , - 1) + y (0 , 1 , 0) + (x + z) ( 1 , 0 , 0 )

Passo 3

Por fim, podemos escrever:

T (x , y , z) = - z T (1 , 0 , - 1) + y T (0 , 1 , 0) + (x + z) T ( 1 , 0 , 0 )

Como T (1 , 0 , - 1) = ( 0 , 0 ) , temos que

T (x , y , z) = y T (0 , 1 , 0) + (x + z) T ( 1 , 0 , 0 )

Só falta escolher as transformações T ( 0 , 1 , 0 ) e T ( 1 , 0 , 0 ) . Por simplicidade, vou escolher:

T (0 , 1 , 0) = ( 1 , 0 )

T (1 , 0 , 0) = ( 0 , 1 )

Assim,

T (x , y , z) = y (1 , 0) + (x + z) (0 , 1)

Logo,

T (x , y , z) = ( y , x + z )

Se escolhêssemos valores diferentes para T ( 0 , 1 , 0 ) e T ( 1 , 0 , 0 ) , obteríamos respostas diferentes.

Resposta

T (x , y , z) = ( y , x + z )

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