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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 28

Seja a transformação linear T :   R 2 → R 3 , T x , y = ( 2 x - y ,   x + 3 y ,   - 2 y ) e as bases A = { - 1 ,   1 ,   2 ,   1 } e B = { 0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   1 ,   0 } . Determinar T B A . Qual a matriz T C A , onde C é a base canônica do R 3 ?

Passo 1

A questão fornece uma transformação linear e pede para acharmos a matriz de transformação com respeito às bases A e B . Para isso, basta lembrar que as colunas da matriz são dadas pela transformação dos vetores da base A , escritos na base B .

Passo 2

Primeiro vamos descobrir T C A determinando as transformações dos vetores de A :

T - 1 ,   1 = ( 2 x - y ,   x + 3 y ,   - 2 y ) = ( - 3 ,   2 ,   - 2 )

T 2 ,   1 = ( 2 x - y ,   x + 3 y ,   - 2 y ) = 3 ,   5 ,   - 2

Esses vetores estão escritos na base canônica, não na base B ! Podemos escrever então:

T - 1 ,   1 = - 3 ,   2 ,   - 2 C

T 2 ,   1 = 3 ,   5 ,   - 2 C

Assim, a matriz T C A será

T C A = - 3 3 2 5 - 2 - 2

Passo 3

Agora precisamos escrever os vetores ( - 3 ,   2 ,   - 2 ) e ( 3 ,   5 ,   - 2 ) com relação a base B   para descobrir T B A . Para isso vamos usar os dois vetores para resolver dois sistemas. Primeiro trabalhando com ( - 3 ,   2 ,   - 2 ) :

- 3 ,   2 , - 2 = a   0 ,   0 ,   1 + b   0 ,   1 , - 1 + c   ( 1 ,   1 ,   0 )

Assim,

c = - 3 b + c = 2 a - b = - 2

Dissotiramos que c = - 3 , logo b = 2 - c = 2 + 3 = 5 . Assim, a = - 2 + b = 3 . Portanto,

T - 1 ,   1 = - 3 ,   2 , - 2 C ⏟ N a   b a s e   c a n ô n i c a = 3 ,   5 ,   - 3 B ⏟ N a   b a s e   B

Agora fazendo o mesmo com o vetor (3, 5, -2):

3 ,   5 ,   - 2 = a   0 ,   0 ,   1 + b   0 ,   1 , - 1 + c   ( 1 ,   1 ,   0 )

Desta forma,

c = 3 b + c = 5 a - b = - 2

Obtemos então c = 3 , b = 2 e a = 0 . Logo,

T 2 ,   1 = 3 ,   5 ,   - 2 C = 0 ,   2 ,   3 B

Passo 4

Cada coluna da matriz de transformação pedida é dada pelos vetores encontrados na base B :

T B A = 3 0 5 2 - 3 3

Resposta

T C A = - 3 3 2 5 - 2 - 2

T B A = 3 0 5 2 - 3 3

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