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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 12b

Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:

(b) x 1 + 3 x 2 - 2 x 3 + 2 x 5 = 0 2 x 1 + 6 x 2 - 5 x 3 - 2 x 4 + 4 x 5 - 3 x 6 = - 1 5 x 3 + 10 x 4 + 15 x 6 = 5 2 x 1 + 6 x 2 + 8 x 4 + 4 x 5 + 18 x 6 = 6

Passo 1

Chega mais!

Utilizar o método de Gauss-Jordan é simplesmente reduzir o sistema a uma matriz reduzida.

Olhe essa matriz:

100 010 001 ⋅ x y z = 10 7 3

É fácil observar que

x = 10 , y = 7 , z = 3

Faremos nosso sistema ganhar a aparência acima.

x 1 + 3 x 2 - 2 x 3 + 2 x 5 = 0 2 x 1 + 6 x 2 - 5 x 3 - 2 x 4 + 4 x 5 - 3 x 6 = - 1 5 x 3 + 10 x 4 + 15 x 6 = 5 2 x 1 + 6 x 2 + 8 x 4 + 4 x 5 + 18 x 6 = 6

Primeiro vamos escrever os coeficientes.

1 3 - 2 0 2 0 2 6 - 5 - 2 4 - 3 0 0 5 10 0 15 2 6 0 8 4 18 = 0 - 1 5 6

Com algumas operações vamos pouco a pouco reduzir a matriz, para zerar os elementos abaixo de (1,1) faremos o seguinte:

l i n h a 2 = l i n h a 2 - 2 ⋅ l i n h a 1

l i n h a 4 = l i n h a 4 - 2 ⋅ l i n h a 1

1 3 - 2 0 2 0 0 0 - 1 - 2 0 - 3 0 0 5 10 0 15 0 0 4 8 0 18 = 0 - 1 5 6

Passo 2

Vamos continuar para a terceira coluna

1 3 - 2 0 2 0 0 0 - 1 - 2 0 - 3 0 0 5 10 0 15 0 0 4 8 0 18 = 0 - 1 5 6

l i n h a 1 = l i n h a 1 - 2 ⋅ l i n h a 2

l i n h a 3 = l i n h a 3 + 5 ⋅ l i n h a 2

l i n h a 4 = l i n h a 4 + 4 ⋅ l i n h a 2

l i n h a 2 = - 1 ⋅ l i n h a 2

1 3 0 4 2 6 0 0 1 2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 = 2 1 0 2

Como a terceira linha está zerado, convém deixar ela por último. Podemos simplesmente trocar a ordem

1 3 0 4 2 6 0 0 1 2 0 3 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 = 2 1 2 0

Passo 3

Vamos simplificar os termos da última coluna, isso já é suficiente para encontrarmos a solução.

1 3 0 4 2 6 0 0 1 2 0 3 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 = 2 1 2 0

l i n h a 1 = l i n h a 1 - l i n h a 3

l i n h a 2 = l i n h a 2 - 1 2 ⋅ l i n h a 3

l i n h a 3 = 1 6 ⋅ l i n h a 3

1 3 0 4 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 = 0 0 1 / 3 0

x 1 + 3 x 2 + 4 x 4 + 2 x 5 = 0 x 3 + 2 x 4 = 0 x 6 = 1 / 3

Aqui temos algumas variáveis livres, nesses casos faremos assim: As que possuem coeficiente 1 ficarão em função das variáveis livres, e o restante possuem valores livres.

x 1 = - 3 b - 4 d - 2 e x 2 = b x 3 = - 2 d x 4 = d x 5 = e x 6 = 1 / 3

∀ b , d , e   ∈ R

Resposta

x 1 = - 3 b - 4 d - 2 e x 2 = b x 3 = - 2 d x 4 = d x 5 = e x 6 = 1 / 3

∀ b , d , e   ∈ R

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que:Toda matriz é equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade).
Considere a matriz A = 1 1 11 1 3 - 2 a 2 3 2 a - 2 a + 2 - a - 2 3 a - 1 - 32 a + 1 . Determine o conjunto solução do sistema AX = B, em que B = 4 3 1 6 t , para todos os valores de a.
Prove que:b) Se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A (simetria).
Sejam A uma matriz mxn e B ≠ 0 uma matriz mx1. Mostre que se X 1 é uma solução do sistema AX = B e Y 1 é uma solução do sistema homogêneo associado AX = 0, então X 1 + Y 1 é solução de AX = B.
Sejam A uma matriz mxn e B ≠ 0 uma matriz mx1. b) Seja solução particular do sistema AX = B. Mostre que toda solução X do sistema AX = B pode ser escrita como X = X 0 + Y, em que Y é uma solução do si