Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:

(b) x 1 + 3 x 2 - 2 x 3 + 2 x 5 = 0 2 x 1 + 6 x 2 - 5 x 3 - 2 x 4 + 4 x 5 - 3 x 6 = - 1 5 x 3 + 10 x 4 + 15 x 6 = 5 2 x 1 + 6 x 2 + 8 x 4 + 4 x 5 + 18 x 6 = 6

Passo 1

Chega mais!

Utilizar o método de Gauss-Jordan é simplesmente reduzir o sistema a uma matriz reduzida.

Olhe essa matriz:

100 010 001 ⋅ x y z = 10 7 3

É fácil observar que

x = 10 , y = 7 , z = 3

Faremos nosso sistema ganhar a aparência acima.

x 1 + 3 x 2 - 2 x 3 + 2 x 5 = 0 2 x 1 + 6 x 2 - 5 x 3 - 2 x 4 + 4 x 5 - 3 x 6 = - 1 5 x 3 + 10 x 4 + 15 x 6 = 5 2 x 1 + 6 x 2 + 8 x 4 + 4 x 5 + 18 x 6 = 6

Primeiro vamos escrever os coeficientes.

1 3 - 2 0 2 0 2 6 - 5 - 2 4 - 3 0 0 5 10 0 15 2 6 0 8 4 18 = 0 - 1 5 6

Com algumas operações vamos pouco a pouco reduzir a matriz, para zerar os elementos abaixo de (1,1) faremos o seguinte:

l i n h a 2 = l i n h a 2 - 2 ⋅ l i n h a 1

l i n h a 4 = l i n h a 4 - 2 ⋅ l i n h a 1

1 3 - 2 0 2 0 0 0 - 1 - 2 0 - 3 0 0 5 10 0 15 0 0 4 8 0 18 = 0 - 1 5 6

Passo 2

Vamos continuar para a terceira coluna

1 3 - 2 0 2 0 0 0 - 1 - 2 0 - 3 0 0 5 10 0 15 0 0 4 8 0 18 = 0 - 1 5 6

l i n h a 1 = l i n h a 1 - 2 ⋅ l i n h a 2

l i n h a 3 = l i n h a 3 + 5 ⋅ l i n h a 2

l i n h a 4 = l i n h a 4 + 4 ⋅ l i n h a 2

l i n h a 2 = - 1 ⋅ l i n h a 2

1 3 0 4 2 6 0 0 1 2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 = 2 1 0 2

Como a terceira linha está zerado, convém deixar ela por último. Podemos simplesmente trocar a ordem

1 3 0 4 2 6 0 0 1 2 0 3 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 = 2 1 2 0

Passo 3

Vamos simplificar os termos da última coluna, isso já é suficiente para encontrarmos a solução.

1 3 0 4 2 6 0 0 1 2 0 3 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 = 2 1 2 0

l i n h a 1 = l i n h a 1 - l i n h a 3

l i n h a 2 = l i n h a 2 - 1 2 ⋅ l i n h a 3

l i n h a 3 = 1 6 ⋅ l i n h a 3

1 3 0 4 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 = 0 0 1 / 3 0

x 1 + 3 x 2 + 4 x 4 + 2 x 5 = 0 x 3 + 2 x 4 = 0 x 6 = 1 / 3

Aqui temos algumas variáveis livres, nesses casos faremos assim: As que possuem coeficiente 1 ficarão em função das variáveis livres, e o restante possuem valores livres.

x 1 = - 3 b - 4 d - 2 e x 2 = b x 3 = - 2 d x 4 = d x 5 = e x 6 = 1 / 3

∀ b , d , e   ∈ R

Resposta

x 1 = - 3 b - 4 d - 2 e x 2 = b x 3 = - 2 d x 4 = d x 5 = e x 6 = 1 / 3

∀ b , d , e   ∈ R

Exercícios de Livros Relacionados