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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 18

Sejam A e   P matrizes   n x n , sendo P invertível. Mostre que det ⁡ P - 1 A P = d e t ⁡ ( A ) .

Passo 1

Fala aeeee, blz?

Essa questão aborda muitas propriedades dos determinantes, vamos juntos resolver.

Se P é invertível, então:

det ⁡ P ≠ 0

Sendo P - 1 a matriz inversa de P, temos:

det ⁡ P - 1 = 1 d e t ⁡ ( P )

A propriedade multiplicativa dos determinantes diz que:

det ⁡ P - 1 A P = det ⁡ P - 1 . d e t ⁡ ( A P )

Pela mesma propriedade, temos:

det ⁡ A P = det ⁡ A . det ⁡ P

Portanto:

det ⁡ P - 1 A P = det ⁡ P - 1 . det ⁡ A . d e t ⁡ ( P )

Substituindo det ⁡ P - 1 :

det ⁡ P - 1 A P = 1 det ⁡ P . det ⁡ A . d e t ⁡ ( P )

det ⁡ P - 1 A P = d e t ⁡ ( A )

Resposta

det ⁡ P - 1 A P = d e t ⁡ ( A ) pela demonstração.

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O determinante de AB é igual ao determinante de BA? Justifique.
Se d e t (A) = - 3 , encontre d e t (A^(- 1))
Se d e t (A) = - 3 , encontre d e t (A^2)
Se A e B são matrizes n xx n tais que d e t (A) = - 2 e d e t (B) = 3 , calcule d e t (A^t B^(- 1)) .
Mostre que se A e uma matriz não singular tal que A2 = A, então det(A) = 1.