A reta r passa pelo ponto A ( 4 , - 3 , - 2 ) e é paralela à reta

s : x = 1 + 3 t y = 2 - 4 t z = 3 - t

Se P ( m , n , - 5 ) ∈ r , determinar m e n .

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Bom, primeiro vou começar construindo a equação dessa reta r . Para isso precisamos de um ponto e do vetor diretor. O ponto nós temos e é A ( 4 , - 3 , - 2 ) . E o vetor diretor pode ser o mesmo da reta s , pois as duas são paralelas, então v → = ( 3 , - 4 , - 1 ) . Assim as equações paramétricas de r são:

r : x = 4 + 3 t y = - 3 - 4 t z = - 2 - t

Passo 2

Agora que temos as equações, podemos usar o fato de que o ponto P pertence à reta r , então as coordenadas desse ponto satisfazem as equações dessa reta.

Assim, substituindo as coordenadas do ponto P ( m , n , - 5 ) no lado esquerdo das equações paramétricas temos:

m = 4 + 3 t n = - 3 - 4 t - 5 = - 2 - t

Nós temos um sistema triplo! As duas primeiras equações possuem três variáveis diferentes, então a princípio não tem solução. Mas dá uma espiadela na última equação: ela tem apenas uma variável! Ufa! Com isso, conseguiremos determinar o parâmetro t e em seguida determinar m e n . Vamos lá?

Da terceira equação temos:

- 5 = - 2 - t

t = - 2 + 5 = 3

Passo 3

Agora com o parâmetro definido, podemos achar os outros valores. Da primeira equação:

m = 4 + 3 t

m = 4 + 3 3 = 13

E da segunda:

n = - 3 - 4 t

n = - 3 - 4 3 = - 15

Então temos que m = 13 e n = - 15 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

m = 13 ; n = - 15

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