Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 17
São apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. é injetora?
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
Passo 1
O problema fornece para nós uma transformação linear. Temos que determinar o núcleo e a imagem dessa transformação.
Para achar o núcleo, temos que lembrar que se :
Assim,
Somando as equações:
Substituindo na primeira equação:
Portanto,
Vemos então que o núcleo é gerado pelo vetor :
Uma imagem para o núcleo é
Como a dimensão do núcleo é , e não nula, não é injetora!
Passo 2
Agora vamos estudar a imagem de :
Assim, a imagem é gerada pelo conjunto
Mas note que o conjunto é LD. Descartando um dos vetores, obtemos o conjunto que é LI:
Como é gerador e LI, trata-se de uma base para . Além disso, como que é a dimensão do espaço de chegada da transformação, a imagem de corresponde a todo plano:
Assim, é sobrejetora!
Resposta
Não é injetora, mas é sobrejetora.