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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 22

Seja a transformação linear T :   R 2 → R 3 tal que T - 2 ,   3 = ( - 1 ,   0 ,   1 ) e T 1 ,   - 2 = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) .

a) Determinar T ( x , y ) .

b) Determinar N ( T ) e I m ( T ) .

c) T é injetora? E sobrejetora?

Passo 1

Foi nos dado uma transformação linear T tal que T - 2 ,   3 = ( - 1 ,   0 ,   1 ) e T 1 ,   - 2 = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) . O primeiro passo é encontrar uma expressão T ( x , y ) para essa transformação. Para isso, vamos proceder da seguinte maneira:

- 2 ,   3 = - 2   1 ,   0 + 3   ( 0 ,   1 )

1 ,   - 2 = 1 ,   0 - 2   ( 0 ,   1 )

Assim,

T - 2 ,   3 = - 2   T 1 ,   0 + 3   T 0 ,   1 = - 1 ,   0 ,   1

T 1 ,   - 2 = T 1 ,   0 - 2   T 0 ,   1 = ( 0 , - 1 ,   0 )

Desta forma, precisamos resolver o sistema

- 2   T 1 ,   0 + 3   T 0 ,   1 = - 1 ,   0 ,   1 T 1 ,   0 - 2   T 0 ,   1 = ( 0 , - 1 ,   0 )

Multiplicando a segunda equação por 2 e somando com a primeira:

- T 0 ,   1 = ( - 1 , - 2 ,   1 )

Assim,

T 0 ,   1 = ( 1 ,   2 , - 1 )

Substituindo isso na segunda equação do sistema:

T 1 ,   0 - 2 ,   4 ,   - 2 = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

Logo,

T 1 ,   0 = ( 2 ,   3 ,   - 2 )

Passo 2

Para achar uma expressão para T ( x , y ) , escrevemos:

T x , y = T x   1,0 + y   0,1 = x   T 1 ,   0 + y   T ( 0 ,   1 )

Usando as relações que encontramos no passo anterior:

T x , y = x 2 ,   3 , - 2 + y ( 1 ,   2 , - 1 )

Logo,

T x , y = ( 2 x + y ,   3 x + 2 y ,   - 2 x - y )

Passo 3

Para acharmos o núcleo, basta fazer T x , y = ( 0 ,   0 ,   0 ) :

2 x + y = 0 3 x + 2 y = 0 - 2 x - y = 0

Como a terceira equação é equivalente a primeira, podemos descarta-la. Da primeira equação tiramos

y = - 2 x

Substituindo na segunda:

3 x - 4 x = 0

Logo, a única solução possível para esse sistema é x = y = 0 . Assim, o núcleo só contém o vetor nulo:

N T = 0 ,   0

Como dim ⁡ N ( T ) = 0 , T é injetora.

Passo 4

Já para a imagem, no segundo passo escrevemos

T x , y = x 2 ,   3 , - 2 + y ( 1 ,   2 , - 1 )

Assim, o conjunto B = 2 ,   3 ,   - 2 ,   1 ,   2 , - 1 é gerador de I m ( T ) . Como B é LI, ele também é base da imagem:

I m T = 2 ,   3 ,   - 2 ,   1 ,   2 , - 1

Assim, vemos que dim ⁡ I m T = 2 ≠ 3 = dim ⁡ R 3 . Vemos então que T não é sobrejetora.

Resposta

T x , y = ( 2 x + y ,   3 x + 2 y ,   - 2 x - y )

N T = 0 ,   0

I m T = 2 ,   3 ,   - 2 ,   1 ,   2 , - 1

É injetora, mas não sobrejetora.

Ver Outros Exercícios desse livro

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Consideremos o operador lineare as bases A = { - 1 ,1 ,1 ,0 } , B = { 2 ,- 1 ,- 1 ,1 } e C canônica. Determinar T A , T B e T C .
Mostrar que a matriz do operador linear identidadeem uma base qualquer, é a matriz identidade n × n .
Seja T :R 2 → R 2 definida por: T = 1 3 - 1 5 Determinar os vetores u , v e w tais que:a) T u = u .b) T v = 2 v c) T w = ( 4 ,4 ) .
Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( x + 1 ,y )
Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( x - 3 y ,2 x + 5 y )