Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 22
Seja a transformação linear tal que e .
a) Determinar .
b) Determinar e .
c) é injetora? E sobrejetora?
Passo 1
Foi nos dado uma transformação linear tal que e . O primeiro passo é encontrar uma expressão para essa transformação. Para isso, vamos proceder da seguinte maneira:
Assim,
Desta forma, precisamos resolver o sistema
Multiplicando a segunda equação por e somando com a primeira:
Assim,
Substituindo isso na segunda equação do sistema:
Logo,
Passo 2
Para achar uma expressão para , escrevemos:
Usando as relações que encontramos no passo anterior:
Logo,
Passo 3
Para acharmos o núcleo, basta fazer :
Como a terceira equação é equivalente a primeira, podemos descarta-la. Da primeira equação tiramos
Substituindo na segunda:
Logo, a única solução possível para esse sistema é . Assim, o núcleo só contém o vetor nulo:
Como , é injetora.
Passo 4
Já para a imagem, no segundo passo escrevemos
Assim, o conjunto é gerador de . Como é LI, ele também é base da imagem:
Assim, vemos que . Vemos então que não é sobrejetora.
Resposta
É injetora, mas não sobrejetora.