Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 19
Nos problemas são apresentados transformações lineares. Para cada uma delas:
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. é injetora?
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
Passo 1
A questão pede para encontramos uma base para o núcleo e para a imagem da transformação linear .
O núcleo corresponde ao conjunto de elementos do domínio que são levados ao vetor nulo pela transformação. Assim, impomos
Fazendo isso, obtemos o sistema
Note que as duas últimas equações são equivalentes. Assim, podemos descartar a terceira equação. Tiramos então que
Assim, se está no núcleo de , devemos ter
Desta forma, é gerador por :
Assim, a dimensão do núcleo é um:
Portanto, como a dimensão do núcleo não é zero, não é injetora.
Passo 2
Agora vamos procurar a imagem de . Para isso:
Assim, vemos que imagem de é gerada pelo conjunto . Pelo teorema da dimensão:
Como , segue que
Assim, uma base para a imagem deve conter dois elementos. Assim, o conjunto é LD, de modo que um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos demais. Basta escolher um dos vetores para descartar (você pode escolher qualquer um). Vou escolher o último, de modo que
Note que a resposta não é única!
Como a dimensão da imagem () não é igual a dimensão do espaço de chegada (), não é sobrejetora!
Resposta
a)
Não é injetora.
b)
Não é sobrejetora.