Enunciado

Nos problemas são apresentados transformações lineares. Para cada uma delas:

a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?

b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?

T :   R 3 → R 3 ,         T x , y , z = ( x - 3 y ,   x - z ,   z - x )

Passo 1

A questão pede para encontramos uma base para o núcleo e para a imagem da transformação linear T .

O núcleo corresponde ao conjunto de elementos do domínio que são levados ao vetor nulo pela transformação. Assim, impomos

T x , y , z = ( 0,0 , 0 )

Fazendo isso, obtemos o sistema

x - 3 y = 0 x - z = 0 z - x = 0

Note que as duas últimas equações são equivalentes. Assim, podemos descartar a terceira equação. Tiramos então que

x = z = 3 y

Assim, se ( x , y , z ) está no núcleo de T , devemos ter

x , y , z = 3 y , y , 3 y = y ( 3 ,   1 ,   3 )  

Desta forma, N ( T ) é gerador por ( 3 ,   1 ,   3 ) :

N T = 3 ,   1 ,   3

Assim, a dimensão do núcleo é um:

dim ⁡ N ( T ) = 1

Portanto, como a dimensão do núcleo não é zero, T não é injetora.

Passo 2

Agora vamos procurar a imagem de T . Para isso:

T x , y , z = x 1 ,   1 ,   - 1 + y - 3 ,   0 ,   0 + z ( 0 ,   - 1 ,   1 )

Assim, vemos que imagem de T é gerada pelo conjunto B = 1 ,   1 ,   - 1 ,   - 3 ,   0 ,   0 ,   0 ,   - 1 ,   1 . Pelo teorema da dimensão:

dim ⁡ N ( T ) + dim ⁡ I m ( T ) = dim ⁡ R 3 = 3

Como dim ⁡ N ( T ) = 1 , segue que

dim ⁡ I m T = 2

Assim, uma base para a imagem deve conter dois elementos. Assim, o conjunto B é LD, de modo que um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos demais. Basta escolher um dos vetores para descartar (você pode escolher qualquer um). Vou escolher o último, de modo que

I m T = [ 1 ,   1 , - 1 ,   - 3 ,   0 ,   0 ]

Note que a resposta não é única!

Como a dimensão da imagem ( 2 ) não é igual a dimensão do espaço de chegada ( 3 ), T não é sobrejetora!

Resposta

a) N T = 3 ,   1 ,   3

dim ⁡ N ( T ) = 1

Não é injetora.

b)

I m T = 1 ,   1 , - 1 ,   - 3 ,   0 ,   0

dim ⁡ I m T = 2

Não é sobrejetora.

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