Nos problemas são apresentados transformações lineares. Para cada uma delas:a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? T :P 1 → R 3 , T a t + b = ( a ,2 a ,a - b )

a) N T = { 0 } dim ⁡ N ( T ) = 0 É injetora.b) I m T = 1 ,2 ,1 ,0 ,0 ,- 1 dim ⁡ I m T = 2 Não é sobrejetora.

Enunciado

A questão pede para encontramos uma base para o núcleo e para a imagem da transformação linear .

O núcleo corresponde ao conjunto de elementos do domínio que são levados ao vetor nulo pela transformação. Assim, impomos

Fazendo isso, obtemos o sistema

Esse sistema tem uma única solução que é . Assim, o núcleo é composto apenas pelo polinômio identicamente nulo:

Assim, a dimensão do núcleo é zero:

Portanto, como a dimensão do núcleo é nula, é injetora.

Agora vamos procurar a imagem de . Para isso:

Assim, vemos que imagem de é gerada pelo conjunto . Pelo teorema da dimensão:

Como , segue que

Como a dimensão da imagem de é dois e o conjunto gerador tem dois elementos, ele é também uma base para :

Como a dimensão da imagem é diferente da dimensão do espaço de chegada (), não é sobrejetora.

É injetora.

Não é sobrejetora.