Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 20
Nos problemas são apresentados transformações lineares. Para cada uma delas:
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. é injetora?
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
Passo 1
A questão pede para encontramos uma base para o núcleo e para a imagem da transformação linear .
O núcleo corresponde ao conjunto de elementos do domínio que são levados ao vetor nulo pela transformação. Assim, impomos
Fazendo isso, obtemos o sistema
Esse sistema tem uma única solução que é . Assim, o núcleo é composto apenas pelo polinômio identicamente nulo:
Assim, a dimensão do núcleo é zero:
Portanto, como a dimensão do núcleo é nula, é injetora.
Passo 2
Agora vamos procurar a imagem de . Para isso:
Assim, vemos que imagem de é gerada pelo conjunto . Pelo teorema da dimensão:
Como , segue que
Como a dimensão da imagem de é dois e o conjunto gerador tem dois elementos, ele é também uma base para :
Como a dimensão da imagem é diferente da dimensão do espaço de chegada (), não é sobrejetora.
Resposta
a)
É injetora.
b)
Não é sobrejetora.