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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 54

Mostrar que se u , v e w são L I , então u + v , u + w e v + w são também L I .

Passo 1

A gente já sabe de cor o que significam vetores L I : só existe uma combinação linear com eles que leve no 0 , que é aquela com todos os coeficientes nulos! Daí, a equação

k u + m v + n w = 0

Só tem solução para k = m = n = 0 .

Passo 2

Mas o que a gente quer é mostrar outra parada: que u + v , u + w e v + w são também L I ! Vamos começar escrevendo uma equação para uma combinação linear deles que leva no 0 .

a (u + v) + b (u + w) + c (v + w) = 0

(a + b) u + (c + a) v + (b + c) w = 0

Epa epa epa! Isso aí é uma combinação linear de u , v e w , né? Mas já vimos que eles são L I , e então essa combinação só vale quanto os coeficientes são nulos! Portanto,

{[[a + b = 0],[c + a = 0],[b + c = 0]])

Esse sistema só tem a solução a = b = c = 0 . Mas então, na primeira equação desse passo, em que temos uma combinação linear com u + v , u + w e v + w , temos a , b e c acompanhando eles!

a (u + v) + b (u + w) + c (v + w) = 0

Acabamos de ver que é tudo 0 , e então esses caras são L I !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a norma do vetor dado.vec u = (0 , 1,2)
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = ‖vec v‖ - ‖vec u‖
Seja vec u = (u_1 , u_2 , u_3) um vetor qualquer de R^3 . Mostre que ‖vec u‖ = |u_i| , i = 1,2 , 3 .
Sejam vec u e vec v vetores quaisquer do R^n . Prove que:vec u _|_ vec v ⟺ ‖vec u + vec v‖^2 = ‖vec u‖^2 + ‖vec v‖^2
Sejam vec u = (u_1 , u_2 , ... , u_n) e vec v = (v_1 , v_2 , ... , v_n) vetores quaisquer do R^n . Mostre que‖vec u - vec v‖ = |u_i - v_i| , i = 1,2 , ... , n