São dadas as coordenadas de u → e v → em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre u → e v → .

u → = 300 ,   300 ,   0             e             v → = - 2000 , - 1000 ,   2000

Passo 1

O exercício quer que achemos o ângulo θ entre os vetores, que é dado por

cos ⁡ θ = u → ⋅ v → u → v →

Assim, o primeiro passo é calcular o produto escalar:

u → ⋅ v → = 300 ,   300 ,   0 ⋅ - 2000 , - 1000 ,   2000 = - 600000 - 300000 + 0 = - 900000

Passo 2

Precisamos também das normas dos vetores:

u → 2 = 300 2 + 300 2 + 0 2 = 2 ⋅ 300 2 ⇒ u → = 300 2

v → 2 = ( - 2000 ) 2 + 1000 2 + 2000 2 = 1000 2 ⋅ ( 4 + 1 + 4 ) ⇒ v → = 3000

Passo 3

Assim,

cos ⁡ θ = - 900000 300 2 ⋅ 3000 = - 1 2 = - 2 2

Portanto,

θ = 3 π 4

Resposta

θ = 3 π 4

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