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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 8.Exercício - Ex. 9

Seja E = ( u → ,   v → ,   w → ) uma base. Verifique se existe uma base F = a → ,   b → ,   c → tal que a → = - 1 ,   0 ,   1 E , b → = 1 ,   2 ,   - 2 E e c → = 1 2 , 1 , 1 2 E . Caso exista, exprima os vetores de E em termos dos vetores de F .

Passo 1

Aqui temos duas bases, E = ( u → ,   v → ,   w → ) e F = a → ,   b → ,   c → , com

a → = - 1 ,   0 ,   1 E

b → = 1 ,   2 ,   - 2 E

c → = 1 2 , 1 , 1 2 E

Assim, a matriz de mudança de base será

M E F = - 1 1 1 2 0 2 1 1 - 2 1 2

As colunas da matriz são as coordenadas dos vetores da base F . Para verificarmos se F realmente é uma base, basta que o determinante de M E F seja diferente de zero:

det ⁡ M E F = - 1 1 1 2 0 2 1 1 - 2 1 2 = - 1 ⋅ 1 + 2 - 1 ⋅ - 1 + 1 2 ⋅ - 2 = - 3 + 1 - 1 = - 3 ≠ 0

Portanto, F é uma base!

Passo 2

Para exprimir os vetores de E em termos dos vetores de F , basta lembrar que

x 1 x 2 x 3 E = M E F   y 1 y 2 y 3 F = - 1 1 1 2 0 2 1 1 - 2 1 2 ⋅ y 1 y 2 y 3 F ⇒ - y 1 + y 2 + 1 2 y 3 = x 1 2 y 2 + y 3 = x 2 y 1 - 2 y 2 + 1 2 y 3 = x 3

Para   u → , temos que x 1 = 1 e x 2 = x 3 = 0 , pois u → = 1 ,   0 ,   0 E . Assim,

- y 1 + y 2 + 1 2 y 3 = 1 2 y 2 + y 3 = 0 y 1 - 2 y 2 + 1 2 y 3 = 0

Da segunda equação, tiramos que y 3 = - 2 y 2 . Substituindo nas demais:

- y 1 + y 2 + 1 2 ⋅ - 2 y 2 = 1 y 1 - 2 y 2 + 1 2 ⋅ - 2 y 2 = 0 ⇒ - y 1 = 1 y 1 - 3 y 2 = 0

Temos então que y 1 = - 1 , de modo que y 2 = - 1 / 3 e y 3 = 2 / 3 . Assim,

u → = - 1 ,   - 1 3 , 2 3 F

Passo 3

Já para v → = 0 ,   1 ,   0 E , temos que

- y 1 + y 2 + 1 2 y 3 = 0 2 y 2 + y 3 = 1 y 1 - 2 y 2 + 1 2 y 3 = 0

Da segunda equação, temos que

y 3 = 1 - 2 y 2

Substituindo na primeira equação:

- y 1 + y 2 + 1 2 1 - 2 y 2 = 0 ⇒ - y 1 + 1 2 = 0 ⇒ y 1 = 1 2

Substituindo na última:

1 2 - 2 y 2 + 1 2 1 - 2 y 2 = 0 ⇒ 1 2 - 2 y 2 + 1 2 - y 2 = 0 ⇒ y 2 = 1 3

Assim,

y 3 = 1 - 2 3 = 1 3

Logo,

v → = 1 2 , 1 3 , 1 3 F

Passo 4

Por fim, para w → = 0 ,   0 ,   1 E , temos que

- y 1 + y 2 + 1 2 y 3 = 0 2 y 2 + y 3 = 0 y 1 - 2 y 2 + 1 2 y 3 = 1

Da segunda equação, tiramos que y 3 = - 2 y 2 . Substituindo nas demais:

- y 1 + y 2 + 1 2 ⋅ - 2 y 2 = 0 y 1 - 2 y 2 + 1 2 ⋅ - 2 y 2 = 1 ⇒ - y 1 = 0 y 1 - 3 y 2 = 1

Tiramos que y 1 = 0 e y 2 = - 1 / 3 . Assim,

y 3 = - 2 ⋅ - 1 3 = 2 3

Logo,

w → = 0 ,   - 1 3 , 2 3 F

Resposta

u → = - 1 ,   - 1 3 , 2 3 F

v → = 1 2 , 1 3 , 1 3 F

w → = 0 ,   - 1 3 , 2 3 F

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