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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 3c

São dados, em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma elipse. Obtenha uma equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto x , y da elipse deva satisfazer.

  1. a = 4 F 1 = - 3,2 F 2 = - 3,6
  2. a = 3 F 1 = - 1 , - 1 F 2 = 1,1
  3. a = 3 F 1 = 0,0 F 2 = 1,1

Passo 1

Para resolvermos esta questão vamos ter de repetir todo o procedimento realizado na obtenção de uma equação da elipse.

Portanto, seja um ponto X = x , y . Ele pertence a elipse se, e somente se,

d X , F 1 +   d X , F 2 = 2 a

Agora, temos que substituir pelas expressões e começar o cálculo. Portanto,

x - 0 2 + y - 0 2 + x - 1 2 + y - 1 2 = 6

x 2 + y 2 + x - 1 2 + y - 1 2 = 6

Passo 2

Com a equação pronta, podemos partir para o desenvolvimento da equação.

Agora, vamos isolar uma raiz e elevar ambos os membros ao quadrado. Portanto,

x - 1 2 + y - 1 2 = 6 - x 2 + y 2

x - 1 2 + y - 1 2 2 = 6 - x 2 + y 2 2

x - 1 2 + y - 1 2 = 36 - 12 x 2 + y 2 + x 2 + y 2

x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 = 36 - 12 x 2 + y 2 + x 2 + y 2

- 2 x - 2 y + 2 = 36 - 12 x 2 + y 2

Novamente, isolamos uma raiz e elevamos ao quadrado. Logo,

12 x 2 + y 2 = 34 + 2 x + 2 y

12 x 2 + y 2 2 = 34 + 2 x + 2 y 2

144 x 2 + y 2 = 1156 + 4 x 2 + 4 y 2 + 136 x + 136 y + 8 x y

144 x 2 + 144 y 2 = 1156 + 4 x 2 + 4 y 2 + 136 x + 136 y + 8 x y

140 x 2 + 140 y 2 - 8 x y - 136 x - 136 y - 1156 = 0

35 x 2 + 35 y 2 - 2 x y - 34 x - 34 y - 289 = 0

E assim chegamos à resposta da nossa questão!

Resposta

35 x 2 + 35 y 2 - 2 x y - 34 x - 34 y - 289 = 0

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