São dados, em relação a uma base ortonormal positiva E , u → = ( 2 ,0 ,0 ) e v → = 2 2 , 0 , 2 2 . Obtenha uma base ortonormal positiva a → ,b → ,c → tal que a → seja combinação linear de u → , v → , a projeção ortogonal de a → sobre u → seja - u → / 2 , a terceira coordenada de a → na base E seja positiva e medida angular entre b → e u → seja 3 π / 4 radianos.

a → = - 1 2 ,0 , 1 2 b → = - 1 2 ,0 ,- 1 2 c → = ( 0 ,- 1 ,0 )

Enunciado

Bom, queremos achar uma base ortonormal positiva. Assim, basta acharmos e e daí fazer

Vamos olhar primeiro para . Como a terceira coordenada deve ser positiva, devemos ter . Vamos calcular primeiro

Como é combinação linear de e , e é ortogonal a e a , devemos ter :

Além disso, devemos ter

Assim,

Logo,

Já temos que

Como ele deve ser unitário:

Como :

Assim,

Agora vamos procurar . Como a base deve ser ortonormal, devemos ter

Assim,

Queremos que o ângulo entre e seja :

Assim,

Portanto,

Para que ele seja unitário:

Assim,

Agora é fácil achar :

Note que ele já está normalizado!