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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 31

São dados, em relação a uma base ortonormal positiva E , u → = ( 2 ,   0 ,   0 ) e v → = 2 2 , 0 , 2 2 . Obtenha uma base ortonormal positiva a → ,   b → ,   c → tal que a → seja combinação linear de u → , v → , a projeção ortogonal de a → sobre u → seja - u → / 2 , a terceira coordenada de a → na base E seja positiva e medida angular entre b → e u → seja 3 π / 4 radianos.

Passo 1

Bom, queremos achar uma base a → ,   b → ,   c → ortonormal positiva. Assim, basta acharmos a → e b → e daí fazer

c → = a → ∧ b →

Vamos olhar primeiro para a → = ( x ,   y ,   z ) . Como a terceira coordenada deve ser positiva, devemos ter z > 0 . Vamos calcular primeiro

u → ∧ v → = i → j → k → 2 0 0 2 2 0 2 2 = 0 ,   - 1 ,   0

Como a → é combinação linear de u → e v → , e u → ∧ v → é ortogonal a u → e a v → , devemos ter a → ⊥ u → ∧ v → :

x ,   y ,   z ⋅ 0 ,   - 1 ,   0 = 0 ⇒ y = 0

Além disso, devemos ter

p r o j u →   a → = - u → 2

Assim,

x ,   0 ,   z ⋅ ( 2 ,   0 ,   0 ) 2   2 ,   0 ,   0 = - 1 2   2 ,   0 ,   0 ⇒ x 2   2 ,   0 ,   0 = - ( 2 ,   0 ,   0 )

Logo,

x 2 = - 1 ⇒ x = - 1 2

Já temos que

a → = - 1 2 ,   0 ,   z

Como ele deve ser unitário:

1 2 + z 2 = 1 ⇒ z 2 = 1 2

Como z > 0 :

z = 1 2

Assim,

a → = - 1 2 ,   0 , 1 2

Passo 2

Agora vamos procurar b → = ( x ,   y ,   z ) . Como a base deve ser ortonormal, devemos ter

a → ⋅ b → = 0 ⇒ x ,   y ,   z ⋅ - 1 2 ,   0 , 1 2 = 0 ⇒ x = z

Assim,

b → = ( x ,   y ,   x )

Queremos que o ângulo entre b → e u → seja 3 π / 4 :

cos ⁡ 3 π 4 = u → ⋅ b → u → b →

Assim,

u → ⋅ b → = x 2 ,             u → = 2             e           b → = 1

Portanto,

- 2 2 = x 2 2 ⇒ x = - 1 2

Para que ele seja unitário:

1 2 + y 2 + 1 2 = 1 ⇒ y = 0

Assim,

b → = - 1 2 ,   0 ,   - 1 2

Passo 3

Agora é fácil achar c → :

c → = a → ∧ b → = i → j → k → - 1 2 0 1 2 - 1 2 0 - 1 2 = 0 ,   - 1 ,   0

Note que ele já está normalizado!

Resposta

a → = - 1 2 ,   0 , 1 2

b → = - 1 2 ,   0 ,   - 1 2

c → = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

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