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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 21.Exercício - Ex. 4

∑ 1 = O 1 , e 1 → , e 2 → , e 3 → e ∑ 2 = O 2 , f 1 → , f 2 → , f 3 → são dois sistemas de coordenadas tais que O 2 = 1,1 , 1 ∑ 1 e a matriz de mudança de base E = e 1 → , e 2 → , e 3 → para a base F = ( f 1 → , f 2 → , f 3 → ) é:

( a ) Obtenha, em relação ao sistema   ∑ 1 , equações vetoriais dos eixos coordenados O 2 u ,   O 2 v e O 2 w , e equações gerais dos planos coordenados O 2 u v , O 2 u w e O 2 v w do sistema ∑ 2

( b ) Supondo que ∑ 1 seja ortogonal, obtenha em relação a ∑ 2 , equações gerais dos planos bissetores dos diedros determinados pelos planos coordenados O 1 x y ,   O 1 x z e O 1 y z

Passo 1

Vamos no passo a passo, indicando o ponto X = ( x , y , z ) ∑ 1 como as antigas coordenadas (antes da transformação) e X = ( u , v , w ) ∑ 2 como as novas (após a transformação). O objetivo é correlacionar x , y e z com u , v e w . Seguindo a mesa ideia discutida na página 274 nós temos que as coordenadas se correlacionam com as novas da seguinte forma:

x = h + a 11 u + a 22 v + a 13 w

y = k + a 2 1 u + a 22 v + a 31 w

z = l + a 31 u + a 3 2 v + a 3 3 w

Onde ( h , k , l ) são as coordenadas de O 2 e a l c é o coeficiente da matriz de transformação (na linha e na coluna) de base de uma base para a outra, ou de e para f ou de ∑ 1 ∑ 2 .

Logo:

x = 1 + u

y = 1 + u + v + w

z = 1 + w

Isolando os termos u , v e w nós teremos:

u = x - 1

w = z - 1

y = 1 + x - 1 + v + z - 1 → v = 1 + y - x - z

Passo 2

E aí podemos escrever a coordenada da seguinte forma:

X = O 2 + u f 1 → + v f 2 → + w f 3 →

Onde podemos ver a matriz de transformação como:

M E F = λ f 1 f 2 f 3

Então f 1 → = λ 1 1 0 , f 2 → = λ 0 1 0 e f 1 → = λ 0 1 1

Logo a equação dos eixos ordenados u , v e w (começando em O 2 ) serão:

O 2 u = 1,1 , 1 + λ [ 1,1 , 0 ]

O 2 v = 1,1 , 1 + λ [ 0 , 1,0 ]

O 2 u = 1,1 , 1 + λ [ 0 , 1 , 1 ]

E uma forma fácil de entender a equação dos planos é so você ver qual a regra de um plano x y convencional? Basta fazer z = 0 . Logo a equação da origem em O 2 e plano u v é fazer w = 0 , logo:

O 2 u v → w = 0 → z - 1 = 0

O 2 u w → v = 0 → 1 + y - x - z = 0

O 2 v w → u = 0 → x - 1 = 0

Passo 3

A equação dos planos bissetores usualmente é dada pelas seis equações:

x + y = 0

x - y = 0

y + z = 0

y - z = 0

z + x = 0

z - x = 0

Só que como essas estão em função de u , v e w nós teremos:

u = x - 1 ; v = 1 + y - x - z ; w = z - 1

x = u + 1 ; y = v - 1 + x + z ;   z = w + 1

Logo:

x + y = 0 → u + 1 + v - 1 + u + 1 + w + 1 = 0 → 2 u + v + 2 + w = 0

x - y = 0 → u + 1 - v - 1 + u + 1 + w + 1 = 0 → v + w = 0

y + z = 0 → v - 1 + u + 1 + w + 1 = 0 → v + u + w + 1 = 0

y - z = 0 → - v + 1 - u + 1 - w + 1 + w + 1 = 0 → u + v = 0

z + x = 0 → w + 1 + u + 1 = 0 → w + u + 2 = 0

z - x = 0 → w + 1 - u - 1 = w - u = 0

Resposta

a )   O 2 u = 1,1 , 1 + λ [ 1,1 , 0 ]

O 2 v = 1,1 , 1 + λ [ 0,1 , 0 ]

O 2 u = 1,1 , 1 + λ [ 0,1 , 1 ]

O 2 u v → z - 1 = 0

O 2 u w → 1 + y - x - z = 0

O 2 v w → x - 1 = 0

b )   2 u + v + 2 + w = 0 ; v + w = 0

u + v = 0 ;   v + u + w + 1 = 0

w + u + 2 = 0 ; w - u = 0

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