Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 21.Exercício - Ex. 5
Dadas equações do conjunto em relação a um dos sistemas de coordenadas e , obtenha equações de em relação ao outro e identifique o conjunto.
Passo 1
Para escrever qualquer coordenada de um sistema de coordenadas 1 para outro sistema 2 fazermos:
E o enunciado da letra a nos dá que os vetores e serão iguais a:
Então as equações de mudança de coordenada serão iguais a (para com respeito a primeira base:
Substituindo esses parâmetros na equação do plano nós teremos:
O que nos dará:
E é assim que o conjunto fica nesse outro sistema de coordenadas dado.
Passo 2
Para a letra teremos:
E como em relação a base 1 então:
Logo a equação plano em relação a base 1 fica:
Fazendo as contas:
Arrumando:
Tratando como nossa variável a ser descoberta nós teremos a seguinte equação do segundo grau:
Fazendo Bháskara teremos:
Como uma base transforma uma coordenada para apenas um único número, logo , ou seja , logo:
E esse é o nosso plano para o sistema de coordenadas na base 1.
Passo 3
Já na letra temos que converter o plano da base para a base e o raciocínio é bem parecido, só vamos inverter algumas coisas, tipo:
Só que como não temos então temos que isolar e em termos de e :
Dessa forma teremos:
Logo:
E como na base 1 então:
Substituindo isso na equação do plano nós teremos:
Na raça, no amor e na paixão nós encontraremos:
O que se resumido fica:
Com as variáveis da base 2.