Seja ∑ 2 o sistema obtido pela translação do sistema ortogonal ∑ 1 para um ponto O 2 pertencente a reta r : X = 1,0 , 1 + λ 1,4 , 2 ∑ 1 . Determine, em cada caso, as coordenadas de O 2 em relação a ∑ 1 .

( a ) P = - 1 , - 2,0 ∑ 1 dista 3 de O 2 v w .

( b ) Q = 2,1 , 1 ∑ 2 dista 3 de O 1 x z

Passo 1

Essa reta nos diz que:

x , y , z = 1,0 , 1 + λ ( 1,4 , 2 )

Ou seja:

x = 1 + λ

y = 4 λ

z = 1 + 2 λ

x - 1 = y 4 = z - 1 2

Passo 2

E quando dizemos que o ponto P dista 3 de O 2 v w , nós queremos dizer que esse ponto dista três do plano u = 0 no sistema de coordenada com o ponto O 2 .

Então para o ponto P distar 3 do plano u = 0 e sabendo que esse ponto está em relação ao sistema de coordenadas de O 1 , logo:

O 2 x = - 1 - 3 = - 4   o u   - 1 + 3 = 2

Pois a distância ao plano é inteiramente no eixo x .

Como pode ser visto na figura abaixo:

O novo sistema de coordenadas formado por O 2 pode estar a esquerda ou a direita do P , devemos levar em consideração os dois casos.

Passo 3

Como o ponto pertence a reta x - 1 = y 4 = z - 1 2   , então:

Para x = 2 :

2 - 1 = y 4 → y = 4

2 - 1 = z - 1 2 → z = 3

Então o primeiro ponto (no primeiro sistema de coordenadas) para O 2 na letra a será:

x , y , z = ( 2,4 , 3 )

E para x = - 4 :

- 4 - 1 = y 4 → y = - 20

- 4 - 1 = z - 1 2 → z = - 9

E o outro ponto então será:

x , y , z = ( - 4 , - 10 , - 9 )

Passo 4

Agora para o caso da letra b teremos a situação inversa:

Nesse caso a coordenada O 1 pode estar em duas posições diferentes (em relação ao sistema de coordenadas 2), o que afeta diretamente a posição de O 2 em relação a O 1 (só que não se esqueça que a reta r está em relação as coordenadas de O 1 ). Isso nos quer dizer que a coordenada y de Q será y = ± 3 , e como na coordenada de O 2 ela está em v = 1 , então podemos escrever que a coordenada em y de O 2 será:

y = 2 ; y = - 4

Pois a coordenada O 2   dista de 1 do ponto Q , sempre de forma mais distante a coordenada 1.

Passo 5

Como O 2 continua pertencendo a reta x - 1 = y 4 = z - 1 2   , então:

Para y = 2 :

x - 1 = 2 4 → x = 3 2

2 4 = z - 1 2 → z = 2

Logo o primeiro ponto para O 2 na coordenada de O 1 será:

O 2 = 3 2 , 2 , 2 ∑ 1

E para y = - 4 :

x - 1 = - 4 4 → x = 0

- 4 4 = z - 1 2 → z = - 1

E o segundo ponto será:

O 2 = 0 , - 4 , - 1 ∑ 1

Resposta

a )   O 2 = 2,4 , 3 ∑ 1   o u   O 2 = - 4 , - 10 , - 9 ∑ 1

b ) O 2 = 3 2 , 2,2 ∑ 1 o u     O 2 = 0 , - 4 , - 1 ∑ 1

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