19 Mostrar que o operador derivação Pn(R) é nilpotente.

Passo 1

Um operador, F , é nilpotente se existir um certo número natural, n , que faça com que:

F n = 0

Tomando um polinômio P n R qualquer:

p n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n - 1 x n - 1 + a n x n

Quando aplicamos o operador derivação, D , nesse polinômio obtemos:

D p n = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + … + n - 1 a n - 1 x n - 2 + n a n x n - 1

Cada vez que aplicamos o operador as constantes somem e o grau do polinômio diminui 1, dessa forma se aplicarmos n + 1 vezes o operador em um polinômio de grau n teremos o zero como respota.

D n + 1 p n = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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