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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 26a

Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,   2 ) .

S = a b c d ; c = a + b ,   d = 0

Passo 1

As duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço são:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

E isso vale tanto pra vetores quanto pra matrizes! Nas questões anteriores do livro, só mexemos com vetores, mas agora vamos mexer um pouco com matrizes. As propriedades de subespaço são iguaizinhas! Então, se duas matrizes pertencem ao subespaço, a soma delas também pertence ao subespaço, e se uma matriz pertence ao subespaço, a multiplicação dela por um escalar também pertence.

Uma matriz desse subconjunto vai ter essa cara aí:

M = a b c d = a b a + b 0

Então vamos pegar duas matrizes genéricas pra testar:

A = a b a + b 0

B = c d c + d 0

Passo 2

Olha aí a soma das matrizes:

A + B = a b a + b 0 + c d c + d 0

A + B = a + c b + d a + c + b + d 0

Bom, essa aí bateu direitinho na condição do enunciado! O termo 2,2 é 0 e o termo 2,1 é a soma dos termos da primeira linha. Vamos ver a próxima.

Passo 3

Pra multiplicar, vamos pegar um escalar qualquer α :

α M = α a b a + b 0

α M = α a α b α a + α b 0

As duas propriedades valeram bonitinho! Então esse subconjunto é sim um espaço vetorial.

Resposta

É um subespaço.

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