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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 33

Seja S o subespaço do R 4 definido por:

S = x , y , z , t ∈ R 4 ; x + 2 y - z = 0 ,   t = 0

Pergunta-se:

  1. - 1 ,   2 ,   3 ,   0 ∈ S ?
  2. 3 ,   1 ,   4 ,   0 ∈ S ?
  3. - 1 ,   1 ,   1 ,   1 ∈ S ?

Passo 1

Pra ver se esses vetores estão no subespaço, é só a gente testar as coordenadas deles na definição do subespaço!

  1. Para o primeiro vetor:

    2. v = - 1 ,   2 ,   3 ,   0

    x + 2 y - z = - 1 + 2 2 - 3 = 0

    t = 0

    Esse tá perfeitinho! Ele pertence a S .

    Passo 2

  2. Para o segundo vetor:

    3. v = ( 3 ,   1 ,   4 ,   0 )

    x + 2 y - z = 3 + 2 1 - 4 = 1

    Opa, ele não atendeu a primeira condição! Então o vetor não está no subespaço.

    Passo 3

  3. Para o terceiro vetor:

v = ( - 1 ,   1 ,   1 ,   1 )

Já dá pra ver de cara que a última componente, t , não é nula, então não atende à definição do subespaço. Portanto, esse vetor não está no subespaço.

Resposta

  1. Pertence
  2. Não pertence
  3. Não pertence
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Encontre conjuntos geradores para os seguintes subespaços:a) { a , b , c ∈ R 3 | 3 a - 5 b + 2 c = 0 } b) { A ∈ M 22 | 3 a 11 = 2 a 12 } c) { p ∈ p 3 | p 2 = 0 } d) { p ∈ p 3 | p 2 = p - 1 }
Mostre que 2 , t + 1 , t 2 + 1 , … , t n + 1 , … e um conjunto de geradores para p = R [ t ] .
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Seja X um conjunto não vazio. Mostre que para qualquer t 0 ∈ X fixado, o conjunto { f ∈ F ( X ; R ) | f t 0 = 0 } É um subespaço de F ( X ; R )
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