Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 3
Seja
Uma matriz de ordem 4, com . Calcular e provar que é inversível, se ao menos um dos 4 números , , e não for nulo.
Passo 1
Bom, vamos começar a questão do final para o início. Para provarmos que a matriz é inversível, o seu determinante deve ser diferente de zero.
Portanto, temos que mostrar que, para que , pelo menos um dos números , , e devem ser diferentes de zero.
Mas como faremos isto? Bom, para isto, teremos que obter o determinante da matriz.
Entenderam o motivo de partirmos do final para o início? Já entendemos agora o quão essencial é saber o determinante de .
Passo 2
Agora, vamos calcular o determinante da matriz . Para isto, vamos utilizar o método dos cofatores para reduzir a ordem da nossa matriz, e assim conseguir uma matriz de ordem 3 que temos uma relação para calcular o determinante da sua matriz.
Portanto, se aplicarmos o método dos cofatores, temos:
Agora, temos que calcular o determinante de cada uma dessas 4 matrizes 3x3. Pode até parecer que o problema ficou maior.
Entretanto, com este procedimento, nós dividimos para conquistar! Tudo ficou maior, mas as contas ficaram mais fáceis!
Passo 3
Agora vamos calcular o determinante de cada uma das 4 matrizes. Portanto,
Passo 4
Agora que calculamos os 4 determinantes, vamos substituir as relações que obtivemos no determinante, vamos substituir na nossa equação do determinante.
Desta forma, temos:
E esta é a nossa fórmula para o determinante da matriz .
Para que ela seja diferente de 0, pelo menos um dos termos devem ser diferentes de 0. Assim, provamos aquilo que a questão nos pediu!