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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 3

Seja vec u = (u_1 , u_2 , u_3) um vetor qualquer de R^3 . Mostre que ‖vec u‖ >= |u_i| , i = 1,2 , 3 .

Passo 1

Primeiro vamos entender o que é ‖vec u‖ e |u_i| . Quando calculamos a norma de vec u temos

‖vec u‖ = sqrt(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2)

E se pegarmos |u_i| , i = 1,2 , 3 temos

|u_i| = sqrt(u_i^2)

Agora vamos tentar desenvolver um raciocínio.

Quando elevamos um número a a uma potência par, obtemos sempre um número não negativo, então

a^2 >= 0

Se somarmos b em ambos os lados da inequação

a + b >= b

Seja b qualquer real. Logo podemos dizer que

u_i^2 + u_j^2 >= u_i^2

Para os valores dentro de i = {1,2 , 3} , j = {1,2 , 3} , i != j . Podemos ainda substituir alguns valores e dizer que

u_1^2 + u_2^2 >= u_1^2

E ainda mais

(u_1^2 + u_2^2) + u_3^2 >= u_1^2 + u_2^2 >= u_1^2

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 >= u_1^2 + u_2^2 >= u_1^2

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 >= u_1^2

E podemos fazer para qualquer uma das coordenadas na direita da inequação, então

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 >= u_i^2

Se tirarmos a raiz quadrada em ambos os lados

sqrt(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2) >= sqrt(u_i^2)

‖vec u‖ >= |u_i|

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam u → , v , → w → e r → vetores quaisquer do R 3 ,com u → , v , → w → linearmente independentes. Prove que r → é combinação linear de u → , v , → w → , isto é, existem reais α , β e γ , tais que r
Sejam u → , e v , → vetores não nulos do R 3 . Mostre que u ⋀ v = uv s e n θ , com θ o ângulo entre u → , e v . →
Sendo V o espaço vetorial das matrizes 2 × 3 . Verificar se { A ,B ,C } é L I ou L D , sendo: A = - 1 2 13 - 2 4 B = 0 - 1 2 - 2 1 0 C = - 1 0 5 - 1 0 3
Determinar k para que{[[[1,0],[1,0]]] , [[[1,1],[0,0]]] , [[[2,-,1],[k,0]]]} seja L D .
Mostrar que se u , v e w são L I , então u + v , u + w e v + w são também L I .