Seja u → = (u₁, u₂, u₃) um vetor qualquer de R^3 . Mostre que ‖u‖ ≥ |u_i|, i = 1, 2, 3 .

Passo 1

Primeiro vamos entender o que é ‖vec u‖ e |u_i| . Quando calculamos a norma de vec u temos

‖vec u‖ = sqrt(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2)

E se pegarmos |u_i| , i = 1,2 , 3 temos

|u_i| = sqrt(u_i^2)

Agora vamos tentar desenvolver um raciocínio.

Quando elevamos um número a a uma potência par, obtemos sempre um número não negativo, então

a^2 >= 0

Se somarmos b em ambos os lados da inequação

a + b >= b

Seja b qualquer real. Logo podemos dizer que

u_i^2 + u_j^2 >= u_i^2

Para os valores dentro de i = {1,2 , 3} , j = {1,2 , 3} , i != j . Podemos ainda substituir alguns valores e dizer que

u_1^2 + u_2^2 >= u_1^2

E ainda mais

(u_1^2 + u_2^2) + u_3^2 >= u_1^2 + u_2^2 >= u_1^2

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 >= u_1^2 + u_2^2 >= u_1^2

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 >= u_1^2

E podemos fazer para qualquer uma das coordenadas na direita da inequação, então

u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 >= u_i^2

Se tirarmos a raiz quadrada em ambos os lados

sqrt(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2) >= sqrt(u_i^2)

‖vec u‖ >= |u_i|

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados