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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 7

Sejam vec u e vec v vetores quaisquer do R^n . Prove que:

vec u _|_ vec v ⟺ ‖vec u + vec v‖^2 = ‖vec u‖^2 + ‖vec v‖^2

Passo 1

Vamos iniciar o nosso raciocínio da relação

‖vec u + vec v‖^2 = (vec u + vec v) * (vec u + vec v)

Fazendo a distributiva

= vec u * vec u + 2 vec u * vec v + vec v * vec v = ‖vec u‖^2 + 2 vec u * vec v + ‖vec v‖^2

Se vec u _|_ vec v , então vec u * vec v = 0 e temos

‖vec u + vec v‖^2 = ‖vec u‖^2 + ‖vec v‖^2

Podemos ainda perceber que ‖vec u‖^2 + 2 vec u * vec v + ‖vec v‖^2 somente é igual a ‖vec u‖^2 + ‖vec v‖^2 se vec u * vec v = 0 e se isso é verdade, vec u _|_ vec v , logo

‖vec u + vec v‖^2 = ‖vec u‖^2 + ‖vec v‖^2

Se e somente se (⟺) vec u _|_ vec v .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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