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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 5b

Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que

‖vec u - vec v‖ >= ‖vec v‖ - ‖vec u‖

Passo 1

Calculando o módulo pelo produto vetorial temos

‖vec u - vec v‖^2 = (vec u - vec v) * (vec u - vec v)

Aplicando a distributiva

= vec u * vec u - 2 vec u * vec v + vec v * vec v

= ‖vec u‖^2 - 2 vec u * vec v + ‖vec v‖^2

Usando a desigualdade de Schwarz, que diz

vec u * vec v <= ‖vec u‖ ‖vec v‖

Podemos dizer que

2 vec u * vec v <= 2 ‖vec u‖ ‖vec v‖

- 2 vec u * vec v >= - 2 ‖vec u‖ ‖vec v‖

Somando ‖vec u‖^2 e ‖vec v‖^2

‖vec u‖^2 - 2 vec u * vec v + ‖vec v‖^2 >= ‖vec u‖^2 - 2 ‖vec u‖ ‖vec v‖ + ‖vec v‖^2

Do lado esquerdo temos o que começamos e do lado direito, um quadrado perfeito

‖vec u - vec v‖^2 >= (‖vec u‖ - ‖vec v‖)^2

Tirando a raiz quadrada

‖vec u - vec v‖ >= |‖vec u‖ - ‖vec v‖|

Quando temos o módulo de algum número, podemos dizer que

|- a| = |a|

E também que

|a| >= a

Já que se a é positivo |a| = a e se a é negativo, qualquer número positivo e maior que a . Portanto podemos afirmar que

|‖vec u‖ - ‖vec v‖| = |‖vec v‖ - ‖vec u‖| >= ‖vec v‖ - ‖vec u‖

E que

‖vec u - vec v‖ >= ‖vec v‖ - ‖vec u‖

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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