a) Seja h a altura do triângulo A B C relativa ao lado A B . Prove que h = A B → ∧ A C → A B → b) Escreva expressões análogas à do item (a) para as outras duas alturas.c) Sejam A , B e C pontos quaisquer tais que A ≠ B . Baseando-se no item (a), obtenha uma fórmula para calcular a distância de C à reta r determinada por A e B .

Enunciado

Bom, para resolver esse problema, vamos montar o triângulo e o paralelogramo gerado por e :

A altura do paralelogramo é a mesma altura do triângulo . Sabemos que a área do paralelogramo é dada pela norma do produto vetorial:

Sabemos também que

Nesse caso, a base é . Assim,

Portanto,

Para as demais alturas, a lógica será a mesma:

No primeiro caso,

No segundo,

No item (c), queremos a distância do ponto até a reta . Mas note que essa distância é dada exatamente pela altura calculada no item (a):

Demonstração.