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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 48

Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P 2 são L D ?

  1. 2 + x - x 2 ,   - 4 - x + 4 x 2 , x + 2 x 2
  2. 1 - x + 2 x 2 ,   x - x 2 ,   x 2
  3. 1 + 3 x + x 2 ,   2 - x - x 2 ,   1 + 2 x - 3 x 2 ,   - 2 + x + 3 x 2
  4. x 2 - x + 1 ,   x 2 + 2 x

Passo 1

Pega a idéia: a gente vai associar o polinômio p = a x 2 + b x + c ao vetor ( a ,   b ,   c ) pra podermos mexer com o que estamos mais acostumados. Assim, os vetores das alternativas vão ser:

  1. - 1 ,   1 ,   2 ,   4 ,   - 1 ,   - 4 ,   ( 2 ,   1 ,   0 )
  2. 2 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   ( 1 ,   0 ,   0 )
  3. 1 ,   3 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 3 ,   2 ,   1 ,   ( 3 ,   1 ,   - 2 )  
  4. 1 ,   - 1 ,   1 ,   ( 1 ,   2 ,   0 )

Agora vamos analisar cada um dos conjuntos e ver se são L D ou L I .

Passo 2

  1. - 1 ,   1 ,   2 ,   4 ,   - 1 ,   - 4 ,   ( 2 ,   1 ,   0 )

    2. a - 1 ,   1 ,   2 + b 4 ,   - 1 ,   - 4 + c 2 ,   1 ,   0 = 0 ,   0 ,   0

    - a + 4 b + 2 c = 0 a - b + c = 0 2 a - 4 b = 0

    Da terceira equação, a = 2 b . Substituindo na segunda:

    2 b - b + c = 0

    c = - b

    Substituindo na primeira:

    - 2 b + 4 b + 2 - b = 0

    0 = 0

    Ou seja, não conseguimos encontrar o valor das letras. Daí, elas ficam livres, e qualquer valor que atende às condições a = 2 b e c = - b vão servir! Por isso, o conjunto é L D .

    Passo 3

  2. 2 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   ( 1 ,   0 ,   0 )

    3. a 2 ,   - 1 ,   1 + b - 1 ,   1 ,   0 + c 1 ,   0 ,   0 = 0 ,   0 ,   0

    2 a - b + c = 0 - a + b = 0 a = 0

    Já temos a = 0 . Substituindo nas outras, vamos encontrar a mesma coisa pra b e pra c . Então, o nosso conjunto é L I .

    Passo 4

  3. 1 ,   3 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 3 ,   2 ,   1 ,   3 ,   1 ,   - 2

    4. a 1 ,   3 ,   1 + b - 1 ,   - 1 ,   2 + c - 3 ,   2 ,   1 + d 3 ,   1 ,   2 = 0 ,   0 ,   0

    a - b - 3 c + 3 d = 0 3 a - b + 2 c + d = 0 a + 2 b + c + 2 d = 0

    O sistema tem mais incógnitas que equações, então vamos ter infinitas soluções pra esse sistema. Por isso, o conjunto é L D .

    Passo 5

  4. 1 ,   - 1 ,   1 ,   ( 1 ,   2 ,   0 )

a 1 ,   - 1 ,   1 + b 1 ,   2 ,   0 = 0 ,   0 ,   0

a + b = 0 - a + 2 b = 0 a = 0

O sistema tem como solução a = b = 0 , então o conjunto é L I .

Resposta

Os conjuntos L D são a e c .

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Sejam u → , e v , → vetores não nulos do R 3 . Mostre que u ⋀ v = uv s e n θ , com θ o ângulo entre u → , e v . →
Sendo V o espaço vetorial das matrizes 2 × 3 . Verificar se { A ,B ,C } é L I ou L D , sendo: A = - 1 2 13 - 2 4 B = 0 - 1 2 - 2 1 0 C = - 1 0 5 - 1 0 3
Determinar k para que 1 0 1 0 ,1 1 0 0 ,2 - 1 k 0 seja L D .
Mostrar que se u , v e w são L I , então u + v , u + w e v + w são também L I .
Determinar o valor de k para que seja L I o conjunto { - 1 ,0 ,2 ,( 1 ,1 ,1 ) ,( k ,- 2 ,0 ) }