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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 49

Quais dos seguintes conjuntos de vetores do R^4 são L D ?

  1. (2 , 1 , 0 , 0) , (1 , 0 , 2 , 1) , (- 1 , 2 , 0 , - 1)
  2. (0 , 1 , 0 , - 1) , (1 , 1 , 1 , 1) , (- 1 , 2 , 0 , 1) , (1 , 2 , 1 , 0)
  3. (1 , - 1 , 0 , 0) , (0 , 1 , 0 , 0) , (0 , 0 , 1 , - 1) , (1 , 2 , 1 , - 2)
  4. (1 , 1 , 2 , 4) , (1 , - 1 , - 4 , 2) , (0 , - 1 , - 3 , 1) , (2 , 1 , 1 , 5)

Passo 1

Vamos analisar a combinação linear de cada um dos conjuntos das alternativas.

  1. (2 , 1 , 0 , 0) , (1 , 0 , 2 , 1) , (- 1 , 2 , 0 , - 1)

    2. a (2 , 1 , 0 , 0) + b (1 , 0 , 2 , 1) + c (- 1 , 2 , 0 , - 1) = ( 0 , 0 , 0 , 0 )

    {[[2 a + b - c = 0],[a + 2 c = 0],[2 b = 0],[b - c = 0]])

    Da terceira, b = 0 , e substituindo na primeira e na segunda, c = 0 e a = 0 . Por isso, o conjunto é L I .

    Passo 2

  2. (0 , 1 , 0 , - 1) , (1 , 1 , 1 , 1) , (- 1 , 2 , 0 , 1) , (1 , 2 , 1 , 0)

    3. a (0 , 1 , 0 , - 1) + b (1 , 1 , 1 , 1) + c (- 1 , 2 , 0 , 1) + d (1 , 2 , 1 , 0) = (0 , 0 , 0 , 0)

    {[[b - c + d = 0],[a + b + 2 c + 2 d = 0],[b + d = 0],[- a + b + c = 0]])

    Da terceira equação, b = - d . Substituindo na primeira:

    - d - c + d = 0

    c = 0

    Agora joga isso na última:

    - a - d = 0

    a = - d

    Substitui tudo na segunda:

    - d - d + 2 d = 0

    0 = 0

    Opa, não conseguimos determinar o valor de todas, só descobrimos que c = 0 , e as outras variáveis atendem a uma relação entre elas. Por isso, o conjunto é L D .

    Passo 3

  3. (1 , - 1 , 0 , 0) , (0 , 1 , 0 , 0) , (0 , 0 , 1 , - 1) , (1 , 2 , 1 , - 2)

    4. a (1 , - 1 , 0 , 0) + b (0 , 1 , 0 , 0) + c (0 , 0 , 1 , - 1) + d (1 , 2 , 1 , - 2) = (0 , 0 , 0 , 0)

    {[[a + d = 0],[- a + b + 2 d = 0],[c + d = 0],[- c - 2 d = 0]])

    Das duas últimas, vamos encontrar c = d = 0 . Substituindo na primeira e na segunda, a = b = 0 . Daí, o conjunto é L I .

    Passo 4

  4. (1 , 1 , 2 , 4) , (1 , - 1 , - 4 , 2) , (0 , - 1 , - 3 , 1) , (2 , 1 , 1 , 5)

Olha essa idéia aqui: pra dizermos se um conjunto é L I ou L D , vamos botar os vetores dele nas linhas de uma matriz. Se a matriz tiver determinante igual a 0 , é L D , e caso contrário, é L I . Vamos fazer isso então! Nossa matriz vai ser:

|[[1,1,2,4],[1,-,1,-,4,2],[0,-,1,-,3,1],[2,1,1,5]]|

Fazendo o cálculo do determinante pelo método de Laplace, vamos encontrar que ele vale 0 . Por isso, o sistema é L D . Isso vai valer sempre que tivermos como formar uma matriz quadrada com os vetores!

Resposta

Os conjuntos b e d são L D .

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