Quais dos seguintes conjuntos de vetores do R^4 são L D ?(2 , 1 , 0 , 0) , (1 , 0 , 2 , 1) , (- 1 , 2 , 0 , - 1) (0 , 1 , 0 , - 1) , (1 , 1 , 1 , 1) , (- 1 , 2 , 0 , 1) , (1 , 2 , 1 , 0) (1 , - 1 , 0 , 0) , (0 , 1 , 0 , 0) , (0 , 0 , 1 , - 1) , (1 , 2 , 1 , - 2) (1 , 1 , 2 , 4) , (1 , - 1 , - 4 , 2) , (0 , - 1 , - 3 , 1) , (2 , 1 , 1 , 5)

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 49

Quais dos seguintes conjuntos de vetores do são ?

Passo 1

Vamos analisar a combinação linear de cada um dos conjuntos das alternativas.

Da terceira, , e substituindo na primeira e na segunda, e . Por isso, o conjunto é .

Passo 2

Da terceira equação, . Substituindo na primeira:

Agora joga isso na última:

Substitui tudo na segunda:

Opa, não conseguimos determinar o valor de todas, só descobrimos que , e as outras variáveis atendem a uma relação entre elas. Por isso, o conjunto é .

Passo 3

Das duas últimas, vamos encontrar . Substituindo na primeira e na segunda, . Daí, o conjunto é .

Passo 4

Olha essa idéia aqui: pra dizermos se um conjunto é ou , vamos botar os vetores dele nas linhas de uma matriz. Se a matriz tiver determinante igual a , é , e caso contrário, é . Vamos fazer isso então! Nossa matriz vai ser:

Fazendo o cálculo do determinante pelo método de Laplace, vamos encontrar que ele vale . Por isso, o sistema é . Isso vai valer sempre que tivermos como formar uma matriz quadrada com os vetores!

Resposta

Os conjuntos e são .

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Prove que quaisquer que sejam vec u e vec v em R^3 ||vec u ^ vec v|| = ||vec u|| ||vec v||

Sejam u → , v → e w → três vetores unitários quaisquer de R 3 , sendo dois a dois ortogonais. Prove que para todo r → do R 3 tem-se: r → = r → ∙ u → u → + r → ∙ v → v → + r → ∙ w → w →

Sejam u → , v → e w → vetores do R 3 . Dizemos que u → , v → e w → são linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais α ,β e γ , se α u → + β v → + γ w → = 0 → , então α = β = γ = 0 . Prov

Sejam u → e v → dois vetores unitários e ortogonais de R 2 . Prove que para todo w → de R 2 tem-se: w → = w → ∙ u → u → + w → ∙ v → v → .

Sejam u → , v , → w → e r → vetores quaisquer do R 3 ,com u → , v , → w → linearmente independentes. Prove que r → é combinação linear de u → , v , → w → , isto é, existem reais α , β e γ , tais que r