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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 16

Sejam u → , v → e w → três vetores unitários quaisquer de R 3 , sendo dois a dois ortogonais. Prove que para todo r → do R 3 tem-se:

r → = r → ∙ u → u → + r → ∙ v → v → + r → ∙ w → w →

Passo 1

Como os vetores u → e v → são unitários e ortogonais dois a dois do R 3 :

u → = v → = w → = 1

u → ∙ v → = 0

u → ∙ w → = 0

v → ∙ w → = 0

Agora vamos considerar a combinação linear nula:

α u → + β v → + γ w → = 0 →

Passo 2

Vamos fazer agora:

u → ∙ α u → + β v → + γ w → = u → ∙ 0 → = 0

α u → ∙ u → + β u → ∙ v → + γ u → ∙ w → = 0

α u → + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 = 0 → α = 0

Fazendo a mesma coisa para o segundo vetor:

v → ∙ α u → + β v → + γ w → = v → ∙ 0 → = 0

β v → ∙ v → + γ v → ∙ w → = 0

β v → = 0 → β = 0

Por fim, faremos para o último vetor:

w → ∙ α u → + β v → + γ w → = w → ∙ 0 → = 0

γ w → ∙ w → = 0

γ w → = 0 → γ = 0

Passo 3

Logo, se α u → + β v → + γ w → = 0 → , então α = β = γ = 0 . Portanto, os vetores u → , v → e w → são linearmente independentes. Se u → , v → e w → são L . I . então existem três únicos reais a , b e c tais que:

r → = a u → + b v → + c w →

Agora,

r → ∙ u → = a u → + b v → + c w → u →

r → ∙ u → = a u → ∙ u → + b v → ∙ u → + c w → ∙ u →

r → ∙ u → = a u → + b ∙ 0 + c ∙ 0

r → ∙ u → = a

Se fizermos a mesma coisa para o segundo vetor:

r → ∙ v → = a u → + b v → + c w → v →

r → ∙ v → = a u → ∙ v → + b v → ∙ v → + c w → ∙ v →

r → ∙ v → = a ∙ 0 + b ∙ v → + c ∙ 0

r → ∙ v → = b

Agora faremos a mesma coisa para o terceiro vetor:

r → ∙ w → = a u → + b v → + c w → w →

r → ∙ w → = a u → ∙ w → + b v → ∙ w → + c w → ∙ w →

r → ∙ w → = a ∙ 0 + b ∙ 0 + c ∙ w →

r → ∙ w → = c

Substituindo na equação w → = a u → + b v → + c w → :

r → = r → ∙ u → u → + r → ∙ v → v → + r → ∙ w → w →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Classificar os seguintes subconjuntos do R^3 em L I ou L D .{(2 , - 1 , 3)} {(1 , - 1 , 1) , (- 1 , 1 , 1)} { (2 , - 1 , 0) , (- 1 , 3 , 0) , (3 , 5 , 0) } {(2 , 1 , 3) , (0 , 0 , 0) , (1 , 5 , 2)} {
Os vetores V 1 = ( 5 , - 3,1 ) , V 2 = ( 0,4 , 3 ) e V 3 = ( - 10,18,7 ) do exercício anterior sao L.D. ou L.I.? Caso sejam L.D. escreva um deles como combinação linear dos outros.
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Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? (a ){ ( 1,1 , 2 ) ,( 1,0 , 0 ) ,( 4,6 , 12 ) } .