Sejam u → , v , → w → e r → vetores quaisquer do R 3 ,com u → , v , → w → linearmente independentes. Prove que r → é combinação linear de u → , v , → w → , isto é, existem reais α , β e γ , tais que r = α u + β v + γ w

Como u ,v , w são Linearmente independentes, então formam uma base para o R 3 como r ∈R 3 então, r se escreve com uma combinação linear da base, ou seja, existem α , β , γ tais que r = α u + β v + γ w

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 15

Sejam e vetores quaisquer do ,com linearmente independentes. Prove que é combinação linear de isto é, existem reais , e tais que

Passo 1

Vimos que é um espaço vetorial de dimensão , ou seja, precisamos de vetores linearmente independentes a para ter uma base para o . Em particular, quando temos também um espaço vetorial, só que agora com dimensão 3.

Resposta

Como são Linearmente independentes, então formam uma base para o como então, se escreve com uma combinação linear da base, ou seja, existem tais que

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Suponha que { V 1 , V 2 , V 3 } é um conjunto linearmente independente de vetores de R n . Responda se { W 1 , W 2 , W 3 } é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:a) W 1 = V 1 + V

Sejam r 1 : x , y , z = ( 1 + 2 t , t , 2 + 3 t ) e r 2 : x , y , z = ( t , 1 + m t , - 1 + 2 m t ) duas retasc) Determine a equação do plano determinado por r 1er 2

Suponha que { V 1 , V 2 , V 3 } é um conjunto linearmente independente de vetores de R n . Responda se { W 1 , W 2 , W 3 } é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:b) W 1 = V 1 ,W

Sejam r 1 : x , y , z = ( 1 + 2 t , t , 2 + 3 t ) e r 2 : x , y , z = ( t , 1 + m t , - 1 + 2 m t ) duas retasb) Para o valor de m encontrado, determine a posição relativa ente r 1 e r 2 .

Se os vetores não nulos U , V e W são L.D., então W é uma combinação linear de U e V .