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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 13

Sejam u → e v → dois vetores unitários e ortogonais de R 2 . Prove que para todo w → de R 2 tem-se: w → = w → ∙ u → u → + w → ∙ v → v → .

Passo 1

Como os vetores u → e v → são unitários e ortogonais do R 2 :

u → = v → = 1

u → ∙ v → = 0

Agora vamos considerar a combinação linear nula:

α u → + β v → = 0 →

Passo 2

Vamos fazer agora:

u → ∙ α u → + β v → = u ∙ 0 → = 0

α u → ∙ u → + β u → ∙ v → = 0

α u → + β ∙ 0 = 0

α ∙ 1 = 0 → α = 0

Fazendo a mesma coisa para o outro vetor:

v → ∙ α u → + β v → = v → ∙ 0 → = 0

β v → ∙ v → = 0

β v → = 0 → β = 0

Passo 3

Logo, se α u → + β v → = 0 → , então α = β = 0 . Portanto, os vetores u → e v → são linearmente independentes. Se u → e v → são L . I . então existem dois únicos reais a e b tais que:

w → = a u → + b v →

Agora,

w → ∙ u → = a u → + b v → u →

w → ∙ u → = a u → ∙ u → + b v → ∙ u →

w → ∙ u → = a u → + b ∙ 0

w → ∙ u → = a

Se fizermos a mesma coisa para o outro vetor:

w → ∙ v → = a u → + b v → v →

w → ∙ v → = a u → ∙ v → + b v → ∙ v →

w → ∙ v → = a ∙ 0 + b ∙ v →

w → ∙ v → = b

Substituindo na equação w → = a u → + b v → :

w → = w → ∙ u → u → + w → ∙ v → v →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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