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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 14

Sejam u → , v → e w → vetores do R 3 . Dizemos que u → , v → e w → são linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais α ,   β e γ , se α u → + β v → + γ w → = 0 → , então α = β = γ = 0 . Prove que u → = u 1 , u 2 , u 3 , v → = v 1 , v 2 , v 3 e w → = w 1 , w 2 , w 3 são linearmente independentes se e somente se u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 ≠ 0 .

Passo 1

Se α u → + β v → + γ w → = 0 → , podemos assumir que:

α u 1 , u 2 , u 3 + β v 1 , v 2 , v 3 + γ w 1 , w 2 , w 3 = 0,0 , 0

α u 1 + β v 1 + γ w 1 , α u 2 + β v 2 + γ w 2 , α u 3 + β v 3 + γ w 3 = 0,0 , 0

Passo 2

Assim, caímos em um sistema linear homogêneo:

α u 1 + β v 1 + γ w 1 = 0 α u 2 + β v 2 + γ w 2 = 0 α u 3 + β v 3 + γ w 3 = 0

Esse sistema aceita solução trivial α = β = γ = 0 , se e somente se,

u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 ≠ 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? (c) {(1,1,1), (2,3,1), (3,1,2)}
Quais dos seguintes vetores são combinação linear de V 1 = ( 5 , - 3,1 ) , V 2 = ( 0,4 , 3 ) e V 3 = ( - 10,18,7 ) ?
Defina os vetores V1 = [1; 2; 3], V2 = [3; 4; 5] e V3 = [6; 6; 7]. Defina o vetor aleatório V = randi(3, 1). Verifique se V é combinação linear de V1, V2 e V3.
Seja A uma matriz nxn. Mostre que det(A) = 0 se, e somente se, uma de suas colunas é combinação linear das outras.
b) Defina a matriz aleatória M = randi(3, 5). Verifique se os vetores definidos pelas colunas de M são combinação linear de V1, V2 e V3. Tente explicar o resultado.