Sejam u → , v → e w → vetores do R 3 . Dizemos que u → , v → e w → são linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais α ,   β e γ , se α u → + β v → + γ w → = 0 → , então α = β = γ = 0 . Prove que u → = u 1 , u 2 , u 3 , v → = v 1 , v 2 , v 3 e w → = w 1 , w 2 , w 3 são linearmente independentes se e somente se u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 ≠ 0 .

Passo 1

Se α u → + β v → + γ w → = 0 → , podemos assumir que:

α u 1 , u 2 , u 3 + β v 1 , v 2 , v 3 + γ w 1 , w 2 , w 3 = 0,0 , 0

α u 1 + β v 1 + γ w 1 , α u 2 + β v 2 + γ w 2 , α u 3 + β v 3 + γ w 3 = 0,0 , 0

Passo 2

Assim, caímos em um sistema linear homogêneo:

α u 1 + β v 1 + γ w 1 = 0 α u 2 + β v 2 + γ w 2 = 0 α u 3 + β v 3 + γ w 3 = 0

Esse sistema aceita solução trivial α = β = γ = 0 , se e somente se,

u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 ≠ 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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