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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 3d

Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases:

1 , t , 1 - t 2   d o   P 2 ( R )

Passo 1

Teorema 1 - Seja B = u 1 , u 2 , u 3 uma base dp espaço U. Dizemos que as aplicações F 1 ,   F 2 e F 3 que associam cada elemento u = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 ∈ U e os elementos x 1 ,   x 2 e x 3 respectivamente, configuram uma base dual da base B .

Outra coisa que devemos nos atentar é que P 2 R se refere ao conjuntos dos polinômios de grau 2 na qual a sua base canônica é definida como 1 , t , t 2 . Assim se tomarmos F 1 devemos ter que

F 1 a + b t + c t 2 = F 1 1 = 1

F 1 a + b t + c t 2 = F 1 t = 0

F 1 a + b t + c t 2 = F 1 1 - t 2 = 0

Ou seja, F 1 do nossos vetores dados, levam ao primeiro vetor da base canonica de P 2 R . Vamos para o passo 2 e ver como as outras aplicações são dadas.

Passo 2

Seguindo o que fizemos com F 1 , teriamos que para F 2 e F 3 teremos

F 2 a + b t + c t 2 = F 2 1 = 0

F 2 a + b t + c t 2 = F 2 t = t

F 2 a + b t + c t 2 = F 2 1 - t 2 = 0

e

F 3 a + b t + c t 2 = F 3 1 = 0

F 3 a + b t + c t 2 = F 3 t = 0

F 3 a + b t + c t 2 = F 3 1 - t 2 = t 2

Queremos que F 1 leve ao primeiro vetor, F 2 ao segundo e F 3 ao terceiro vetor da base canônica de P 2 R . Assim vamos assumir o seguinte

F 1 a + b t + c t 2 = a + b + c

Na qual t = 0 para essa aplicação, certo?

Logo

F 2 a + b t + c t 2 = a + b + c t

E

F 3 a + b t + c t 2 = a + b + c t 2

Passo 3

Vamos resolver então.

Para F 1

F 1 : 1 a + 0 b + 0 c = 1 0 a + 1 b + 0 c = 0 1 a + 0 b - 1 c = 0

A primeira equação já nos dá de cara que a = 1 , enquanto a terceira equação diz que a = c = 1 . Logo a primeira aplicação será

F 1 a + b t + c t 2 = a + c

Para F 2

F 2 : 1 a + 0 b + 0 c t = 0 0 a + 1 b + 0 c t = t 1 a + 0 b - 1 c t = 0

Aqui temos que a segunda equação será b t = t → b = 1 , enquanto a primeira equação nos dá que a = 0 e a ultima que a = c = 0 , ou seja

F 2 a + b t + c t 2 = b t

E finalmente para F 3

F 3 : 1 a + 0 b + 0 c t 2 = 0 0 a + 1 b + 0 c t 2 = 0 1 a + 0 b - 1 c t 2 = t 2

Na qual temos na lata que a = b = 0 pela primeira e segunda equações repectivamente. E pela ultima equação temos que c = - 1 , logo teremos que

F 3 a + b t + c t 2 = - c t 2

Passo 4

Assim por fim, temos que

F 1 ,   F 2 , F 3 = a + c , b t , - c t 2

Nossa base dual.

Resposta

a + c , b t , - c t 2

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