Seja V = R 3 . Considere o sub-espaço W * de V * gerado pelos funcionais F e G dados por F x , y , z = x - y e G x , y , z = y - 2 z . Determinar uma base do seguinte sub-espaço de V : W = u ∈ V F u = 0 , ∀F ∈ W * .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 4

Seja . Considere o sub-espaço de gerado pelos funcionais e dados por e . Determinar uma base do seguinte sub-espaço de .

Passo 1

Então nosso problema nos da um espaço vetorial que é identico ao . Logo em seguida temos o enunciado nos da um subspaço que pela definição, temos que

Ou seja, existe um funcional linear que nos leva de de em , que o enunciado também nos deu.

O enunciado ainda termina nos informando como são gerados os elementos de , na qual para todo funcional pertencente a , toma-se que qualquer , se , então .

Passo 2

Então se e são funcionais de vale que os elementos de que pertencem a também serão todos os elementos tal que

Logo temos que por que e por que . Tomando temos o elementos

E perceba que qualquer outro elementos que encontrarmos será uma combinação de . Logo nossa base é definida apenas por

Resposta

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Se E = u → ,v → ,w → é base, que condições deve satisfazer m para que F = u → + v → ,m v → - w → ,u → + m w → seja base? Escreva a matriz de mudança de base de E para F .

Sejam E = ( u → ,v → ,w → ) uma base e F = v → - u → ,u → - w → ,u → . Mostre que F é base e calcule a tripla de coordenadas do vetor u → + 2 v → + 3 w → na base F .

Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 bases tais que 2 e → 1 = 3f → 1 - f → 3 g → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 2 e → 2 = f → 1 + 3f → 3 g → 2 = e → 1 +

Escreva a matriz de mudança de base E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 para a base F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 e exprima o vetor u → = - 4 f → 1 + f → 2 - f → 3 em função de e → 1 ,e → 2 e e → 3 , sabendo que f → 1

Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 três bases. Verifique se são verdadeiras ou falsas a afirmações seguintes e justifique sua respostas.a) M E F