Seja V = R 3 . Considere o sub-espaço W * de V * gerado pelos funcionais F e G dados por F x , y , z = x - y e G x , y , z = y - 2 z . Determinar uma base do seguinte sub-espaço de V : W = u ∈ V F u = 0 , ∀   F ∈ W * .

Passo 1

Então nosso problema nos da um espaço vetorial V que é identico ao R 3 . Logo em seguida temos o enunciado nos da um subspaço W * que pela definição, temos que

W * ≡ L W , V

Ou seja, existe um funcional linear que nos leva de de V em W , que o enunciado também nos deu.

O enunciado ainda termina nos informando como são gerados os elementos de W , na qual para todo funcional pertencente a W , toma-se que qualquer u ∈ V , se F u = 0 , então u ∈ W .

Passo 2

Então se F e G são funcionais de L W , V vale que os elementos de V que pertencem a W também serão todos os elementos tal que

F x , y , z = x - y = 0

E

G x , y , z = y - 2 z = 0

Logo temos que por F que x = y e por G que y = 2 z . Tomando z = 1 temos o elementos

2,2 , 1

E perceba que qualquer outro elementos que encontrarmos será uma combinação de 2,2 , 1 . Logo nossa base é definida apenas por

2,2 , 1

Resposta

2,2 , 1

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